Simbología y notación

Toda la notación que aparece en las lecciones, agrupada por área, con el nombre que se lee en voz alta y su papel en el curso. La idea es que puedas consultar un símbolo sin recordar en qué lección salió —una hoja de repaso rápida.

1. Lógica y conjuntos

Símbolo	Nombre	Significado / uso
$\forall$	Para todo	Cuantificador universal. "Para todo $\varepsilon > 0$ " abre casi toda definición de límite.
$\exists$	Existe	Cuantificador existencial. El orden $\forall\varepsilon\,\exists N$ (primero el reto, luego la respuesta) es el corazón de $\varepsilon$ – $N$ .
$\Rightarrow$	Implica	$P \Rightarrow Q$ : si $P$ , entonces $Q$ .
$\iff$	Si y solo si	Equivalencia lógica; $P$ y $Q$ son verdaderas o falsas juntas.
$\neg$	Negación	Negar $\forall$ da $\exists$ de la negación; herramienta para probar que algo no converge.
$\in,\ \notin$	Pertenece	$x \in E$ : $x$ es elemento de $E$ .
$\subseteq,\ \subset$	Subconjunto	$A \subseteq B$ : todo elemento de $A$ está en $B$ .
$\cup,\ \cap$	Unión, intersección	Unión arbitraria de abiertos es abierta; intersección finita de abiertos es abierta.
$\varnothing$	Conjunto vacío	Junto con $X$ , es a la vez abierto y cerrado.
$E^c$	Complemento	$E$ abierto $\iff E^c$ cerrado (dualidad).
$\overline{E}$	Clausura	$E$ más todos sus puntos límite.
$A \sim B$	Equipotencia	Existe biyección $A \to B$ ; mismo cardinal.
$f : X \to Y$	Función	$f$ lleva $X$ en $Y$ .
$x \mapsto f(x)$	Asigna	Define la regla de la función (p. ej. $n \mapsto 2n$ ).
$f^{-1}(V)$	Preimagen	$f$ continua $\iff f^{-1}(\text{abierto})$ es abierto.
$f \circ g$	Composición	Su derivada es el producto de derivadas (regla de la cadena).

2. Números, orden y cotas

Símbolo	Nombre	Significado / uso
$\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$	Naturales, enteros, racionales	$\mathbb{Q}$ es contable y no completo (tiene huecos).
$\mathbb{R}, \mathbb{C}$	Reales, complejos	$\mathbb{R}$ : único cuerpo ordenado completo. $\mathbb{C}$ : cuerpo no ordenable.
$\mathbb{R}^k$	Espacio euclidiano	$k$ -uplas con producto interno y norma; completo.
$\overline{\mathbb{R}}$	Recta extendida	$\mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$ ; hace que $\sup, \inf$ siempre existan.
$<,\ \le$	Orden	Total en $\mathbb{R}$ : tricotomía + transitividad.
$\sup E$	Supremo	Mínima cota superior. Puede no pertenecer a $E$ . El axioma que define a $\mathbb{R}$ .
$\inf E$	Ínfimo	Máxima cota inferior; dual del supremo.
$\lvert x\rvert$	Valor absoluto / módulo	Distancia a $0$ ; en $\mathbb{C}$ , $\lvert a+bi\rvert = \sqrt{a^2+b^2}$ .
$\overline{z}$	Conjugado	$\overline{a+bi} = a-bi$ ; aparece en Cauchy–Schwarz complejo.
$i$	Unidad imaginaria	$i^2 = -1$ ; por eso $\mathbb{C}$ no se puede ordenar.
$x^{1/n}$	Raíz $n$ -ésima	Existe en $\mathbb{R}$ gracias a la propiedad del supremo.

3. Topología y espacios métricos

Símbolo	Nombre	Significado / uso
$d(p,q)$	Métrica / distancia	Positividad, simetría, desigualdad triangular.
$N_r(p)$	Vecindad (bola)	$\{q : d(p,q) < r\}$ ; base de abiertos, límites y continuidad.
$\lvert \mathbf{x}\rvert$	Norma euclidiana	$\sqrt{\sum x_i^2}$ ; cumple la triangular vía Cauchy–Schwarz.
$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$	Producto interno	$\sum x_i y_i$ ; en $L^2$ se vuelve $\mathbb{E}[XY]$ .
$K$	Compacto	Todo cubrimiento abierto tiene subcubrimiento finito; en $\mathbb{R}^k$ = cerrado y acotado (Heine–Borel).
$\{G_\alpha\}$	Cubrimiento abierto	Familia de abiertos cuya unión cubre el conjunto.

4. Límites, sucesiones y series

Símbolo	Nombre	Significado / uso
$x_n \to p$	Converge	$\forall\varepsilon\,\exists N:\ n \ge N \Rightarrow d(x_n, p) < \varepsilon$ .
$\lim_{n\to\infty} x_n$	Límite	El punto al que tiende la sucesión; único si existe.
$\varepsilon,\ \delta,\ N$	Épsilon, delta, ene	El reto ( $\varepsilon$ ) y la respuesta ( $\delta$ para funciones, $N$ para sucesiones).
$\{x_{n_k}\}$	Subsucesión	Índices crecientes $n_1 < n_2 < \cdots$ ; base de Bolzano–Weierstrass.
$\limsup,\ \liminf$	Límite superior / inferior	Mayor y menor límite subsecuencial; $\limsup\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}$ da el radio de convergencia.
$\sum_{n=1}^\infty a_n$	Serie	Límite de las sumas parciales $s_N = \sum_{n=1}^N a_n$ .
$s_N$	Suma parcial	La serie es, por definición, la sucesión $\{s_N\}$ .
$R$	Radio de convergencia	$1/R = \limsup\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}$ ; la serie de potencias converge para $\lvert x\rvert < R$ .

5. Continuidad y derivadas

Símbolo	Nombre	Significado / uso
$\lim_{x\to p} f(x)$	Límite de función	Mira alrededor de $p$ ( $0 < d(x,p) < \delta$ ), sin requerir $f(p)$ .
$f'(x)$	Derivada	$\lim_{t\to x}\frac{f(t)-f(x)}{t-x}$ ; mejor aproximación lineal local.
$f^{(n)}$	Derivada $n$ -ésima	Aparece en Taylor; $f^{(n)}/n!$ son los coeficientes.
$f \in \mathscr{R}(\alpha)$	Riemann-integrable	Las sumas superior e inferior se cierran sobre el mismo valor.
$\int_a^b f\,d\alpha$	Integral de Stieltjes	Integra $f$ con peso $\alpha$ ; con $\alpha = F$ es $\mathbb{E}[f(X)]$ .
$U(P,f),\ L(P,f)$	Sumas superior / inferior	Sobre- y subestimación del área en una partición $P$ .
$f_n \to f$	Convergencia de funciones	Puntual (cada $x$ ) vs. uniforme (un $N$ para todos); solo la uniforme preserva propiedades.
$P_{n-1}(x)$	Polinomio de Taylor	$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(\alpha)}{k!}(x-\alpha)^k$ ; la linealización local.

6. Varias variables y formas diferenciales

Símbolo	Nombre	Significado / uso
$\frac{\partial f}{\partial x_j}$	Derivada parcial	Deriva en $x_j$ congelando las demás variables.
$\nabla f$	Gradiente	Vector de parciales; apunta al máximo crecimiento; $\nabla f = 0$ en óptimos.
$J,\ J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}$	Jacobiano	La derivada como matriz; la regla de la cadena es producto de Jacobianos.
$\det J$	Determinante jacobiano	Factor de área/volumen; $= 0$ indica colapso (no invertible). Aparece en cambio de variables.
$H_{ij} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$	Hessiano	Matriz de curvatura; clasifica óptimos por el signo de sus autovalores.
$\omega$	Forma diferencial	Objeto que se integra; $k$ -forma sobre región $k$ -dimensional.
$\wedge$	Producto cuña	Área orientada; antisimétrico ( $dx \wedge dy = -dy \wedge dx$ ); el determinante abstracto.
$d\omega$	Derivada exterior	Unifica gradiente/rotacional/divergencia; cumple $d(d\omega) = 0$ .
$\partial M$	Frontera	El borde de la región $M$ ; Stokes: $\int_{\partial M}\omega = \int_M d\omega$ .

7. Probabilidad, medida y espacios $L^p$

Símbolo	Nombre	Significado / uso
$\mu$	Medida	Asigna "tamaño" a conjuntos; $\sigma$ -aditiva.
$\mathbb{P}(A)$	Probabilidad	Una medida con $\mu(\Omega) = 1$ .
$\Omega,\ \mathcal{F}$	Espacio muestral, $\sigma$ -álgebra	El conjunto base y los eventos medibles.
$\mathbb{E}[X]$	Esperanza	$= \int X\,d\mathbb{P}$ ; literalmente una integral de Lebesgue.
$\int f\,d\mu$	Integral de Lebesgue	Corta el rango: $\sum a_i\,\mu(E_i)$ (valor $\times$ medida).
$L^p$	Espacio $L^p$	$\int \lvert f\rvert^p\,d\mu < \infty$ . $L^1$ : esperanza finita; $L^2$ : varianza finita.
$\lVert f\rVert_p$	Norma $L^p$	$\bigl(\int \lvert f\rvert^p\,d\mu\bigr)^{1/p}$ ; cumple Minkowski (triangular).
$\langle f, g\rangle$	Producto interno en $L^2$	$\int fg\,d\mu = \mathbb{E}[XY]$ ; da geometría de Hilbert.
$\perp$	Ortogonalidad	$X \perp Y \iff \mathbb{E}[XY] = 0$ (no correlación).
$\mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}]$	Esperanza condicional	Proyección ortogonal de $X$ sobre lo $\mathcal{G}$ -medible.
$\frac{d\nu}{d\mu}$	Derivada de Radon–Nikodym	La densidad $p(x)$ ; formaliza qué es una densidad.
$\Gamma(x)$	Función Gamma	$\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt$ ; extiende el factorial; normaliza Gamma/Beta/ $t$ .

El hilo que recorre toda esta notación es uno solo: aproximar, tomar límites, y exigir que el espacio sea completo para que esos límites tengan a dónde llegar. El supremo $\sup$ garantiza que los límites existan; eso se vuelve la completitud de $\mathbb{R}^k$ y de $L^2$ ; y sobre esa completitud se paran las proyecciones, las integrales y toda la probabilidad rigurosa.