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Completar el cuadrado

Es una sola idea —reescribir un cuadrático como un cuadrado perfecto más una constante— pero rinde por tres: revela el vértice de una parábola, demuestra la fórmula cuadrática, y deja leer la media y la varianza dentro de un exponente gaussiano sin integrar nada. Después se generaliza a vectores y se vuelve la columna vertebral de los modelos gaussianos.

Caso escalar

Coeficiente líder igual a 1

El núcleo es geométrico: $x^2 + bx$ son un cuadrado $x^2$ más dos franjas; para cerrar el cuadrado grande de lado $x + \tfrac{b}{2}$ falta la esquina $\bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^2$.

El paréntesis es el vértice: la parábola $y = x^2 + bx + c$ tiene su mínimo en $x = -\tfrac{b}{2}$, con valor $c - \tfrac{b^2}{4}$.

Coeficiente líder distinto de 1

Con $a \neq 1$ se saca $a$ como factor común de los dos primeros términos y se completa adentro:

De acá sale todo. El vértice es $\left(-\tfrac{b}{2a},\; c - \tfrac{b^2}{4a}\right)$. Y poniendo $ax^2 + bx + c = 0$ y despejando se obtiene, sin trucos, la fórmula cuadrática:

La fórmula no es algo para memorizar: es completar el cuadrado, ejecutado una vez en general.

Leer media y varianza desde un exponente gaussiano

Acá está el pago estadístico. Una densidad gaussiana es $\propto e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$, así que cualquier $\exp$ de un cuadrático en $x$ es una gaussiana disfrazada. Completando el cuadrado en el exponente,

donde $a$ es la precisión (inverso de la varianza). Moviendo $a$ y $b$ se ve cómo el exponente fija el centro y el ancho:

Posterior Gaussiano-Gaussiano

Cuando multiplicás un prior gaussiano por una verosimilitud gaussiana, el producto vuelve a ser $\exp$ de un cuadrático: completás el cuadrado, leés $\mu$ y $\sigma^2$ del posterior, y listo —sin resolver ninguna integral—. Con prior $x \sim N(\mu_0, \sigma_0^2)$ y dato $y \mid x \sim N(x, \sigma^2)$, sumás los exponentes y juntás los términos en $x$:

Aplicando el diccionario $\mu = b/a$, $\sigma^2 = 1/a$:

Dos lecturas que valen oro: las precisiones se suman (la información se acumula, y el posterior es más angosto que el prior y que el dato) y la media posterior es un promedio ponderado por precisión de ambos. Todo salió de completar el cuadrado y leer el diccionario —nada más—. Es, además, exactamente Ridge = MAP y el corazón escalar del filtrado gaussiano.

Caso matricial

Formas cuadráticas vectoriales

En varias variables, $x^2$ se generaliza a una forma cuadrática $\mathbf{x}^\top A\, \mathbf{x}$ con $A$ simétrica. Si $A$ es definida positiva, es el análogo de "$a > 0$": un tazón convexo con un único mínimo.

Por qué la covarianza debe ser definida positiva. En la normal multivariante, la matriz del exponente es $A = \Sigma^{-1}$ (la precisión). Que sea definida positiva es lo que garantiza que $-\tfrac12(\mathbf{x}-\boldsymbol\mu)^\top\Sigma^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol\mu)$ sea negativo fuera del centro —que la densidad tenga un pico real y decaiga en todas las direcciones—. Una $\Sigma$ no definida positiva no describe una gaussiana válida.

Expansión de $(\mathbf{x}-\boldsymbol\mu)^\top \Sigma^{-1} (\mathbf{x}-\boldsymbol\mu)$

El exponente de la gaussiana multivariada se expande igual que $(x-\mu)^2$, cuidando que $\Sigma^{-1}$ es simétrica (los dos términos cruzados se combinan en uno con factor $2$):

Las curvas de nivel de esta forma —la distancia de Mahalanobis al cuadrado— son elipses, con ejes dados por los autovectores de $\Sigma$ y semiejes $\sqrt{\lambda}$:

Completar el cuadrado en dimensión $n$

El proceso es idéntico al escalar, con $A^{-1}$ donde antes había $\tfrac{1}{a}$. Dado un cuadrático con término lineal,

El "vértice" es $\mathbf{x}^\star = A^{-1}\mathbf{b}$. Llevado al exponente gaussiano $-\tfrac12 \mathbf{x}^\top A\,\mathbf{x} + \mathbf{b}^\top\mathbf{x}$, esto dice que la media es $\boldsymbol\mu = A^{-1}\mathbf{b}$ y la covarianza es $\Sigma = A^{-1}$ (con $A$ la matriz de precisión). Es la versión vectorial de $\mu = b/a$, $\sigma^2 = 1/a$.

Esta única identidad resuelve, completando el cuadrado, la media de un posterior gaussiano multivariado, la solución de mínimos cuadrados (ordinarios, generalizados, ridge) y el paso de actualización de los filtros gaussianos —todos son el mismo cuadrático, minimizado. Diagonalizar $A$ (rotar a sus autovectores) desacopla las variables: es lo que las elipses inclinadas vuelven círculos.

La traducción escalar → matricial, en una línea: donde el escalar divide por $a$, el matricial multiplica por $A^{-1}$. Centro $\tfrac{b}{a} \to A^{-1}\mathbf{b}$; varianza $\tfrac{1}{a} \to \Sigma = A^{-1}$. Esa única regla convierte cada resultado gaussiano escalar en su versión multivariante.

Recall activo

Resolvé sin mirar:

1. Completá $x^2 - 10x + 7$.
2. Completá $2x^2 + 8x + 3$.
3. Un exponente vale $-\tfrac12(4x^2 - 12x) + \text{cte}$. ¿Cuál es $\mu$ y cuál $\sigma^2$?
4. En el posterior Gaussiano-Gaussiano con $\sigma_0^2 = \sigma^2 = 1$, ¿cuánto vale $\sigma_{\text{post}}^2$? ¿Tiene sentido que sea menor que $1$?
5. ¿Cuál es el "centro" de $\mathbf{x}^\top A\mathbf{x} - 2\mathbf{b}^\top\mathbf{x}$?

Soluciones: (1) $(x-5)^2 - 18$; (2) $2(x+2)^2 - 5$; (3) $a=4$, $b=6$ → $\mu = 3/2$, $\sigma^2 = 1/4$; (4) precisiones $1+1=2$, luego $\sigma_{\text{post}}^2 = 1/2$ —sí, dos fuentes dan más certeza que una; (5) $A^{-1}\mathbf{b}$.

Lo que sigue

Completar el cuadrado conecta álgebra con probabilidad. La Parte III suma las otras dos herramientas que aparecen en cuanto hay verosimilitudes y productos: exponenciales y logaritmos —que convierten productos en sumas— y las sumatorias y series.