Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es un cociente de polinomios, $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ . Manejarlas —simplificarlas, sumarlas, partirlas en pedazos— se apoya por completo en saber factorizar: casi todo se reduce a ver qué factores aparecen arriba y abajo.

Simplificar: se cancelan factores, no términos

La regla de oro, y la fuente del error más común. Solo podés cancelar lo que está multiplicando arriba y abajo —un factor—, nunca un término de una suma:

\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6} = \frac{(x-3)\,(x+3)}{(x+2)\,(x+3)} = \frac{x - 3}{x + 2}.

Primero se factoriza, después se cancela el factor común $(x+3)$ . En cambio, $\dfrac{x + 3}{x}$ no es $\dfrac{3}{1}$ : la $x$ de arriba es un sumando, no un factor.

El error clásico. $\dfrac{a + b}{a} \neq b$ . Cancelar a través de un signo $+$ es el pecado capital del álgebra de fracciones.

Cancelar cambia el dominio. $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ es cierto solo para $x \neq 1$ : en $x = 1$ la izquierda no existe (división por cero) y la derecha vale $2$ . La igualdad es de funciones racionales, no de valores en todo punto —y ese hueco reaparece en cálculo como discontinuidad evitable.

Operaciones

Producto y cociente son directos —multiplicás en línea, y dividir es multiplicar por el recíproco—, conviene factorizar antes para cancelar:

\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{PR}{QS}, \qquad \frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R}.

Suma y resta exigen un denominador común —el mínimo común múltiplo de los denominadores—:

\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) + x}{x(x+1)} = \frac{2x + 1}{x(x+1)}.

Fracciones parciales

La operación más potente, y la inversa de sumar fracciones: partir una fracción complicada en una suma de fracciones simples. Si el denominador tiene raíces reales distintas $r_1, \dots, r_n$ (y el grado de arriba es menor que el de abajo):

\frac{P(x)}{(x - r_1)(x - r_2)\cdots(x - r_n)} = \frac{A_1}{x - r_1} + \frac{A_2}{x - r_2} + \cdots + \frac{A_n}{x - r_n}.

Cada término aporta un solo polo; sumados, reconstruyen la fracción original. Mirá cómo la curva entera es exactamente la suma de dos pedazos simples:

Fracciones parciales: una suma de polos simples — interactivo

1 / [(x − -2)(x − 2)]

= -0.25/(x − -2) + 0.25/(x − 2)

raíz r₁-2

raíz r₂2

La curva negra es la fracción original, con un polo en cada raíz. Es idéntica a la suma de dos términos simples (azul + verde), cada uno con un solo polo. Los coeficientes salen por cover-up: A = 1/(r₁ − r₂), B = 1/(r₂ − r₁). Descomponer así es lo que vuelve integrable —o invertible— una fracción que entera no se deja.

Cómo se hallan los coeficientes (cover-up). Para el residuo $A_k$ , multiplicás ambos lados por $(x - r_k)$ y evaluás en $x = r_k$ —"tapando" ese factor en el denominador original:

A_k = \left.\frac{P(x)}{\prod_{j \neq k}(x - r_j)}\right|_{x = r_k}.

Para los otros casos hay dos ajustes: con un factor repetido $(x-r)^m$ se ponen términos $\dfrac{A_1}{x-r} + \dfrac{A_2}{(x-r)^2} + \cdots + \dfrac{A_m}{(x-r)^m}$ ; con un factor cuadrático irreducible $(x^2 + px + q)$ , el numerador correspondiente es lineal, $\dfrac{Bx + C}{x^2 + px + q}$ . En todos los casos, igualar coeficientes resuelve el resto.

¿Por qué siempre existe y es única? Porque los polinomios tienen identidad de Bézout: si dos denominadores $D_1, D_2$ no comparten factores, existen $U, V$ con $U D_1 + V D_2 = 1$ —el análogo de $\gcd(m,n)=1 \Rightarrow um + vn = 1$ , vía el algoritmo de Euclides—. Multiplicando $\tfrac{P}{D_1 D_2}$ por esa identidad, la fracción se parte en una pieza sobre cada factor; iterando, cualquier $Q$ se descompone (existencia). Y es única, porque dos descomposiciones distintas darían un polinomio no nulo de grado menor que $Q$ con más raíces de las que su grado permite. Esa unicidad es lo que legitima los atajos: cualquier $A_k$ que satisfaga la identidad son los coeficientes correctos.

Para qué sirve. Es el paso que vuelve integrable una función racional (cada $\tfrac{A}{x-r}$ integra a $A\ln|x-r|$ ) y el que permite invertir transformadas de Laplace y Z término a término. Sin fracciones parciales, media tabla de integrales y de transformadas no se podría usar.

Recall activo

Resolvé sin mirar:

Simplificá $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$ (y decí para qué $x$ vale).
¿Por qué $\dfrac{x+3}{x}$ no se simplifica a $3$ ? (la razón, no el resultado)
Sumá $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1}$ .
Descomponé $\dfrac{7x+1}{(x+2)(x-1)}$ por cobertura.
¿Qué armazón tiene la descomposición de $\dfrac{1}{(x-1)^2(x^2+1)}$ ? (sin calcular constantes)

Soluciones: (1) $\dfrac{x-2}{x+2}$ , con $x \neq -2$ ; (2) el $x$ de abajo es factor, pero arriba es un término sumado a $3$ , no un factor —no hay factor común; (3) $\dfrac{2x+1}{x(x+1)}$ ; (4) $\dfrac{13/3}{x+2} + \dfrac{8/3}{x-1}$ ; (5) $\dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{(x-1)^2} + \dfrac{Cx+D}{x^2+1}$ .

Lo que sigue

Cierra la Parte I de manipulación algebraica. La Parte II toma una sola de estas técnicas —reescribir un cuadrático— y la lleva lejos: completar el cuadrado, primero escalar y después en su versión matricial, que es la que hace aparecer medias y varianzas dentro de un exponente gaussiano.