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La integral de Riemann-Stieltjes

La derivada mide cómo cambia algo; la integral mide cómo se acumula. El clímax del capítulo es el Teorema Fundamental, que revela que son operaciones inversas —asombroso, porque sus definiciones (cocientes vs. sumas de áreas) no se parecen en nada. Y la versión de Stieltjes conecta directo con la esperanza: $E[f(X)] = \int f\, dF$.

La integral como límite de sumas

Para medir el área bajo una curva irregular la cortamos en franjas y aproximamos cada una por un rectángulo. La pregunta fina: ¿qué altura le damos si $f$ varía en la franja? Dos respuestas. Con una partición $P$ de $[a,b]$, sean $M_i = \sup f$ y $m_i = \inf f$ en el trozo $i$:

La suma inferior subestima, la superior sobreestima, y el área real queda atrapada entre ambas. Al refinar la partición, las inferiores suben y las superiores bajan:

$f$ es integrable si $\displaystyle\sup_P L(P,f) = \inf_P U(P,f)$, y ese valor común es $\int_a^b f\,dx$. Equivalentemente: para todo $\varepsilon > 0$ existe una partición con $U(P,f) - L(P,f) < \varepsilon$.

Es el espíritu $\varepsilon$ del Cap. 4 aplicado al área: si la brecha $U - L$ se hace tan chica como quieras, la integral existe. Mirala cerrarse (la banda roja es $U-L$):

Continuidad ⇒ integrabilidad. Si $f$ es continua en $[a,b]$, es integrable. La razón encadena todo lo anterior: sobre un compacto una función continua es uniformemente continua, así que no varía demasiado en cada franja chica; la brecha $M_i - m_i$ se controla uniformemente y las sumas se aprietan. Funciones con saltos finitos (o discontinuas en un conjunto de medida cero) también pueden ser integrables — el puente exacto a Lebesgue.

Monótona ⇒ integrable, aun con saltos. En una partición uniforme las oscilaciones $M_i - m_i = f(x_i) - f(x_{i-1})$ telescopean a $f(b) - f(a)$; con la malla chica, esa brecha total multiplicada por el ancho se va a cero. La monotonía limita la oscilación acumulada aunque haya (a lo sumo contables) saltos.

Pero no toda función acotada es integrable. La función de Dirichlet —$f = 1$ en los racionales de $[0,1]$, $0$ en los irracionales— tiene en cada subintervalo $M_i = 1$ (hay racionales) y $m_i = 0$ (hay irracionales), así que $U = 1$ y $L = 0$ para toda partición: las tenazas nunca se cierran. No es Riemann-integrable —y es, exactamente, la función que la integral de Lebesgue sí sabrá integrar. El fracaso de Riemann que motiva toda la teoría de la medida.

La generalización de Stieltjes

En Riemann cada franja pesa por su ancho $\Delta x_i$. En Stieltjes, una segunda función $\alpha$ actúa como peso, y cada franja pesa por $\Delta\alpha_i = \alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})$:

Por qué importa: cuando $\alpha$ es una CDF, $\int f\,d\alpha$ es exactamente la esperanza $E[f(X)]$. Y unifica lo continuo con lo discreto en una sola notación — subí el salto y mirá aparecer la masa puntual:

• $\alpha$ suave (variable continua): $d\alpha = \alpha'(x)\,dx$ recupera $\int f(x)\,p(x)\,dx$.
• $\alpha$ con saltos (variable discreta): cada salto aporta $f(x_k)\cdot(\text{tamaño del salto}) = f(x_k)\,P(X = x_k)$.

Una sola fórmula, $E[f(X)] = \int f\,dF$, cubre densidades y masas puntuales. Por eso en estadística teórica la esperanza se escribe como integral de Stieltjes contra la CDF.

El Teorema Fundamental del Cálculo

Derivar e integrar se definieron por separado, con maquinarias distintas. El TFC dice que son inversas, y eso da un atajo gigante: calcular una integral desde la definición es horrible; basta hallar una antiderivada y evaluarla.

Parte 1 (derivar deshace integrar). Si $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$, entonces $F'(x) = f(x)$.

Parte 2 (la versión práctica). Si $F' = f$, entonces $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

¿Por qué la Parte 1? $F(x)$ es el área acumulada hasta $x$. Si avanzo un pasito $h$, gano una franjita de ancho $h$ y altura $\approx f(x)$:

y con $h \to 0$ la izquierda es $F'(x)$. La tasa a la que se acumula el área es la altura de la curva: donde $f$ es alta el área crece rápido, donde es baja crece lento, donde $f=0$ el área tiene un extremo. Movés $x$ y lo ves:

Modelo mental: si $f$ es el caudal (litros/seg), $F$ es el agua acumulada; el balde se llena a la velocidad a la que entra el agua, $F' = f$. Un caso central: la CDF $F(x) = \int_{-\infty}^x p(t)\,dt$ es el área acumulada de la densidad, y $F'(x) = p(x)$: densidad y CDF son antiderivada/derivada una de otra. Cuando no hay antiderivada cerrada, volvés a las sumas de rectángulos refinadas —la cuadratura numérica (trapecio, Simpson, Gauss). El TFC para lo analítico; las sumas para lo numérico.

La Parte 2, con rigor. Tomá una partición; el valor medio da en cada trozo un $t_i$ con $F(x_i) - F(x_{i-1}) = f(t_i)\,\Delta x_i$. Sumando, la izquierda telescopea a $F(b) - F(a)$, y la derecha es una suma de Riemann atrapada entre $L(P)$ y $U(P)$; como $f$ es integrable, ambas convergen a $\int_a^b f$, forzando $F(b) - F(a) = \int_a^b f$. $\;\blacksquare$ El TFC es, además, el caso 1-D del teorema de Stokes (Cap. 10): lo que se acumula dentro de $[a,b]$ se lee desde su frontera $\{a, b\}$.

Propiedades

No son tecnicismos: la linealidad es $E[aX + Y] = aE[X] + E[Y]$; la monotonía es $X \le Y \Rightarrow E[X] \le E[Y]$; la acotación es la desigualdad triangular integral, base de cotas como Jensen.

Ejercicios resueltos

La receta del TFC es siempre la misma: (1) hallá una antiderivada $F$ (subiendo el exponente con $\int x^n\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1}$); (2) evaluá $F(b)-F(a)$.

1. $\displaystyle \int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} - 0 = 9.$

2. Con linealidad, $\displaystyle \int_1^2 (x^3 + 2x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} + x^2\right]_1^2 = (4 + 4) - \left(\tfrac14 + 1\right) = \frac{27}{4} = 6.75.$

3. Polinomio completo, $\displaystyle \int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\,dx = \left[x^3 - 2x^2 + x\right]_0^2 = (8 - 8 + 2) - 0 = 2.$

4. Aditividad sin calcular nada: si $\int_0^1 f = 3$ y $\int_1^2 f = 5$, entonces $\displaystyle \int_0^2 f = \int_0^1 f + \int_1^2 f = 8.$

Las reglas de derivación del Cap. 5, leídas al revés, se vuelven la maquinaria para integrar. No hacen falta dos juegos de herramientas: una operación deshace a la otra.