Variables aleatorias y su distribución

Sobre los cimientos de Kolmogorov ya vimos nacer la idea; ahora la trabajamos a fondo. Una variable aleatoria $X$ no es un número ni "un valor que sale al azar": es una función $X : \Omega \to \mathbb{R}$ . La aleatoriedad no vive en $X$ —vive en $\Omega$ . Una vez fijado $\omega$ , $X(\omega)$ es un número perfectamente determinado; lo que es aleatorio es qué $\omega$ ocurre. La probabilidad de $X$ se hereda de la probabilidad de $\Omega$ .

X : S → ℝ — la preimagen y su CDF — interactivo

{X ≤ 1.0} = {ω : X(ω) ≤ 1.0} = {1, 2, 3, 4, 5} → P(X ≤ 1.0) = 5/6 = 0.833

Cada ficha es un resultado ω; su posición es el número X(ω). La aleatoriedad vive en el dado, no en X. El evento {X ≤ c} es la preimagen: todos los ω cuyo valor cae a la izquierda de c. Su probabilidad, heredada del dado, va trazando la CDF de abajo —los saltos son las masas puntuales (tres ω colapsan en X = 0, de ahí el salto de 3/6).

Medibilidad: no generar preguntas ilegales

Queremos poder preguntar $P(X \le c)$ . Pero $P$ solo está definida sobre la σ-álgebra $\mathcal F$ . Si el conjunto $\{X \le c\}$ no estuviera en $\mathcal F$ , la pregunta no tendría respuesta. Esa es toda la exigencia:

Definición. Dado $(\Omega, \mathcal F, P)$ , una variable aleatoria es una función $X : \Omega \to \mathbb{R}$ tal que para todo $c \in \mathbb{R}$ , $\{X \le c\} = \{\omega \in \Omega : X(\omega) \le c\} \in \mathcal F.$ Equivalentemente: $X^{-1}(B) \in \mathcal F$ para todo boreliano $B \in \mathcal B(\mathbb R)$ .

La medibilidad es exactamente " $X$ no genera preguntas ilegales". Y basta pedirla para los $\{X \le c\}$ : como los intervalos $(-\infty, c]$ generan $\mathcal B(\mathbb R)$ , controlar esas preguntas controla todas.

Qué significa $\{X \le c\}$

Hay tres niveles de lectura, y confundirlos es la fuente de casi todo el misterio:

$\le$ entre dos números. $3 \le 5$ . Sin misterio.
$X(\omega) \le c$ para un $\omega$ fijo. Acá $X(\omega)$ es un número concreto y $c$ otro; la comparación usual. Todavía sin aleatoriedad.
$\{X \le c\}$ como evento. Al variar $\omega$ sobre todo $\Omega$ , recolectás todos los mundos donde la comparación del nivel 2 es verdadera. Es un subconjunto de $\Omega$ —un evento—, no un número.

Con un dado, $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ y $X(\omega) = \omega$ :

\{X \le 4\} = \{1, 2, 3, 4\}, \qquad P(\{X \le 4\}) = \tfrac{4}{6}.

La convención general, para cualquier boreliano $B$ , es

\{X \in B\} := X^{-1}(B) = \{\omega \in \Omega : X(\omega) \in B\},

con casos particulares $\{X \le c\} = X^{-1}((-\infty, c])$ , $\{X = c\} = X^{-1}(\{c\})$ , $\{a < X \le b\} = X^{-1}((a, b])$ . La cadena conceptual completa va de los números al evento, del evento a la medibilidad, y de ahí a que la probabilidad exista:

\underbrace{X(\omega) \le c}_{\text{números}} \;\Rightarrow\; \underbrace{\{X \le c\} \subseteq \Omega}_{\text{evento}} \;\Rightarrow\; \underbrace{\{X \le c\} \in \mathcal F}_{X\ \text{medible}} \;\Rightarrow\; \underbrace{P(X \le c)\ \text{existe}}_{F_X\ \text{definida}}.

Objetos derivados

De la medibilidad salen tres cosas gratis:

Distribución inducida. $P_X(B) = P(X^{-1}(B)) = P(X \in B)$ es la ley de $X$ : la probabilidad empujada (pushforward) desde $\Omega$ hacia $\mathbb R$ .
Composición. Si $X$ es medible y $g : \mathbb R \to \mathbb R$ es Borel-medible, entonces $g(X)$ también es medible. Por eso $X^2$ , $\log X$ , $e^X$ , $\max(X, 0)$ son variables aleatorias automáticamente —no hay que verificar nada.
El cuadro completo. Una variable aleatoria es un pasaje del mundo abstracto al cuantitativo:

\underbrace{(\Omega, \mathcal F, P)}_{\text{escenario abstracto}} \;\xrightarrow{\;X\;}\; \underbrace{(\mathbb R, \mathcal B(\mathbb R), P_X)}_{\text{escenario cuantitativo}}.

Casi toda la estadística vive del lado derecho —trabajamos con $P_X$ y nunca volvemos a mirar $\Omega$ —; la estructura probabilística profunda (filtraciones, esperanza condicional, martingalas) vive del izquierdo.

La función de distribución acumulada

Describir $X$ "del todo" parecería exigir dar $P(X \in B)$ para todo boreliano $B$ —una infinidad incontable de números—. El hecho notable es que basta una sola función: conocer $P(X \le c)$ para cada $c$ . Como los $(-\infty, c]$ generan $\mathcal B(\mathbb R)$ , la probabilidad sobre ellos determina la probabilidad sobre cualquier boreliano (extensión de Carathéodory).

Definición. La función de distribución acumulada (CDF) de $X$ es $F_X(c) = P_X\bigl((-\infty, c]\bigr) = P(X \le c), \qquad c \in \mathbb R.$

Una sola $F_X : \mathbb R \to [0,1]$ contiene toda la información probabilística: probabilidades, masas, densidades, cuantiles, momentos.

La CDF: saltos = masas, continua por la derecha — interactivo

c = 0.00

F(c) = 0.675F(c⁻) = 0.325P(X=c) = 0.350P(X>c) = 0.325

Mezcla: parte continua más un átomo en 0. Ahí F pega un salto de 0.35 = P(X = 0). En todo lo demás P(X = c) = 0. Una sola función describe discretas, continuas y mezclas.

Las tres propiedades que la caracterizan

No cualquier función sirve. De hecho, son exactamente tres condiciones:

Teorema. $F : \mathbb R \to [0,1]$ es la CDF de alguna variable aleatoria si y solo si:

Extremos: $\displaystyle\lim_{c \to -\infty} F(c) = 0$ y $\displaystyle\lim_{c \to +\infty} F(c) = 1$ .

No decreciente: $c_1 \le c_2 \Rightarrow F(c_1) \le F(c_2)$ .

Continua por la derecha: $\displaystyle\lim_{h \downarrow 0} F(c + h) = F(c)$ .

La continuidad por la derecha no es un capricho: es consecuencia de haber definido $F$ con $\le$ (y no con $<$ ). Cuando $h \downarrow 0$ ,

\{X \le c + h\} \downarrow \{X \le c\} \quad\Rightarrow\quad F_X(c+h) \to F_X(c),

por continuidad de la medida. Por la izquierda, en cambio,

\{X \le c - h\} \uparrow \{X < c\} \quad\Rightarrow\quad F_X(c^-) := \lim_{h \downarrow 0} F_X(c - h) = P(X < c).

Y la diferencia entre ambos límites es, precisamente, la masa en el punto:

F_X(c) - F_X(c^-) = P(X = c).

Los saltos de la CDF son las masas puntuales. Donde $F$ es continua, $P(X = c) = 0$ .

Operativa con CDFs

Todo se calcula con diferencias de $F$ :

P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a), \qquad P(X = c) = F_X(c) - F_X(c^-),

P(X > c) = 1 - F_X(c), \qquad P(X \ge c) = 1 - F_X(c^-).

Discreta, continua o mezcla

Discreta. $X$ toma valores en $\{x_1, x_2, \dots\}$ con masas $p_X(x_i)$ ; la CDF es una escalera: $F_X(c) = \sum_{x_i \le c} p_X(x_i)$ .
Continua. $F_X$ es absolutamente continua: existe una densidad $f_X \ge 0$ con $F_X(c) = \int_{-\infty}^{c} f_X(t)\, dt$ y $f_X(c) = F_X'(c)$ .
Mezcla. Una parte continua más átomos —y la CDF las describe a todas con el mismo lenguaje (lo viste en el interactivo: la mezcla salta donde hay un átomo y sube suave donde hay densidad).

Transformaciones monótonas

Si $g$ es estrictamente creciente e $Y = g(X)$ , entonces $Y \le c$ ocurre exactamente cuando $X \le g^{-1}(c)$ . Por lo tanto

F_Y(c) = P(Y \le c) = P\bigl(X \le g^{-1}(c)\bigr) = F_X\bigl(g^{-1}(c)\bigr).

La misma altura de probabilidad, leída en dos ejes. El caso canónico en finanzas: si $X \sim N(0,1)$ y $Y = e^{X}$ , entonces $Y$ es lognormal —el modelo de precios de Black–Scholes, donde el log-precio es normal— y $F_Y(c) = \Phi(\ln c)$ para $c > 0$ :

Transformación monótona: normal → lognormal — interactivoc = 2.00 · F_Y(c) = F_X(ln c) = 0.756

Con g estrictamente creciente, Y = g(X) ≤ c ocurre exactamente cuando X ≤ g⁻¹(c). Por eso F_Y(c) = F_X(g⁻¹(c)): la misma altura de probabilidad, leída en dos ejes. Acá X ~ N(0,1) y Y = eˣ es lognormal —el modelo de precios de Black–Scholes, donde el log-precio es normal.

(Para $g$ derivable, diferenciando sale la fórmula de cambio de variable para densidades, $f_Y(c) = f_X(g^{-1}(c))\,\bigl|\tfrac{d}{dc} g^{-1}(c)\bigr|$ , que retoma la próxima lección.)

Lo que sigue

Una variable aleatoria es una función medible; su ley es una medida pushforward; y la CDF la resume entera con tres propiedades. Lo que falta es ponerle números a esa ley: densidades y la transformación de variables, y después esperanza, varianza y momentos —el resumen numérico que abre la puerta a los estimadores.