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Sucesiones y series de funciones

En las sucesiones numéricas convergían números. Ahora convergen funciones enteras, y aparece una sorpresa: hay dos formas genuinamente distintas de converger —puntual y uniforme— y distinguirlas lo es todo. Es el cimiento de toda la teoría de aproximación y de los intercambios límite-integral que sostienen las pruebas asintóticas.

Las dos formas de converger

Convergencia puntual (la débil). Fijás un punto $x$ y mirás la sucesión de números $f_1(x), f_2(x), \dots$ Si converge a $f(x)$ para cada $x$ por separado, $f_n \to f$ puntualmente. El problema es ese "cada $x$ por separado": cada punto converge a su propio ritmo, sin coordinación.

Convergencia uniforme (la fuerte). Pedís que todos los puntos converjan al mismo ritmo, con una sola tolerancia:

Toda la diferencia está en el orden de los cuantificadores. Puntual: para cada $x$, existe $N$ (que puede depender de $x$). Uniforme: existe un $N$ que sirve para todos los $x$ a la vez. Es el mismo cuidado con el orden del juego ε-N del Cap. 3 — el $N$ "se sale afuera" del $\forall x$.

Criterio de Cauchy uniforme. Igual que con sucesiones numéricas, hay una versión que no menciona el límite: $\{f_n\}$ converge uniformemente $\iff$ para todo $\varepsilon > 0$ existe $N$ con $\sup_x \lvert f_n(x) - f_m(x)\rvert < \varepsilon$ para $n, m \ge N$. Es la herramienta con la que se prueba el test M de más abajo.

El ejemplo que lo ilumina todo

Tomá $f_n(x) = x^n$ en $[0,1]$. En $x = 0.5 \to 0$; en $x = 0.99 \to 0$ (lentísimo); en $x = 1$ queda $1, 1, 1, \dots \to 1$. El límite puntual es discontinuo:

Cada $f_n$ es continua (un polinomio), pero el límite tiene un salto. La continuidad no se preservó. Movelo y mirá por qué: cerca de $x = 1$ la curva nunca entra del todo en la banda de tolerancia, por más grande que sea $n$:

El "$N$ necesario" se dispara al infinito conforme $x \to 1$: no hay un $N$ único para todos. La convergencia no es uniforme, y esa grieta de coordinación deja escapar la discontinuidad.

Los tres teoremas centrales

La moraleja: la convergencia uniforme rescata lo que la puntual rompe.

Teorema 1 — la uniforme preserva la continuidad

Si cada $f_n$ es continua y $f_n \to f$ uniformemente, entonces $f$ es continua.

La prueba es un argumento ε/3: acercás $f$ a alguna $f_n$ (uniformemente, así vale en el punto y en sus vecinos), usás que esa $f_n$ es continua, y volvés a $f$:

La uniformidad es el pegamento que transmite la continuidad al límite: necesitás que $f_n$ esté cerca de $f$ en el punto y en sus vecinos a la vez.

Teorema 2 — intercambiar límite e integral

Si $f_n \to f$ uniformemente en $[a,b]$ (con $f_n$ integrables), entonces $\lim_{n\to\infty} \int_a^b f_n\,dx = \int_a^b f\,dx = \int_a^b \Bigl(\lim_{n\to\infty} f_n\Bigr) dx.$

La intuición es de áreas: si todas las $f_n$ están dentro de una banda de altura $\varepsilon$ alrededor de $f$, sus áreas difieren a lo sumo en $\varepsilon\,(b-a) \to 0$. Sin uniformidad, un pico viajero —cada vez más alto y delgado— se lleva área que el límite puntual no ve:

Este es, en el fondo, el teorema detrás de intercambiar límite y esperanza, $\lim_n E[g_n] = E[\lim_n g_n]$. La probabilidad usa una versión con medida (Convergencia Monótona, Convergencia Dominada del Cap. 11): la misma idea con una hipótesis más débil —uniformidad acá, dominación allá—, pero siempre hace falta una condición de control para que el intercambio sea legítimo. El pico viajero es justo el contraejemplo que esa condición evita.

Teorema 3 — derivadas (la excepción cuidadosa)

Para intercambiar límite y derivada no basta $f_n \to f$ uniformemente: necesitás que las derivadas $f_n'$ converjan uniformemente (y que las $f_n$ converjan en al menos un punto).

La asimetría: dos funciones pueden estar a distancia $\varepsilon$ (uniformemente) y tener pendientes salvajemente distintas —una suave y otra que la sigue con ondulaciones diminutas y rapidísimas. "Cerca en valor" no implica "cerca en pendiente". La integral suaviza (se lleva bien con la uniforme de las $f_n$); la derivada amplifica (exige la uniforme de las $f_n'$).

El contraejemplo concreto: $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{\sqrt n} \to 0$ uniformemente (su $\sup$ es $\tfrac{1}{\sqrt n} \to 0$), pero $f_n'(x) = \sqrt n\,\cos(nx)$ no converge a $0 = (\lim f_n)'$ —ni siquiera converge—. Cerca en valor, lejísimos en pendiente.

El test M de Weierstrass

La herramienta práctica para probar convergencia uniforme de series.

Test M. Si existen números $M_n$ con $\lvert f_n(x)\rvert \le M_n$ para todo $x$, y la serie numérica $\sum M_n$ converge, entonces $\sum f_n(x)$ converge uniformemente.

Reduce una pregunta sobre funciones (difícil) a una sobre una serie de números (fácil, con los criterios del Cap. 3). La clave: la cota $M_n$ es sobre $\lvert f_n(x)\rvert$ y debe ser independiente de $x$. Por ejemplo, para $\sum \frac{\sin(nx)}{n^2}$: como $\lvert \sin(nx)\rvert \le 1$,

Por el test M la serie converge uniformemente, y por el Teorema 1 su suma es continua. Toda la cadena se encadena.

El teorema de aproximación de Weierstrass

Toda función continua en $[a,b]$ se puede aproximar uniformemente por polinomios: dada $\varepsilon$, existe un polinomio a menos de $\varepsilon$ de $f$ en todo el intervalo a la vez.

Los objetos más simples —polinomios— imitan cualquier función continua con precisión arbitraria. Una construcción explícita son los polinomios de Bernstein; subí el grado y mirá pegarse a la curva, hasta en un pico:

Es la base teórica de por qué la aproximación funciona en absoluto: al ajustar una función desconocida con una expansión polinomial, una base de features o una red neuronal, apostás a que objetos simples aproximan el objeto complejo verdadero. Weierstrass garantiza esa apuesta para funciones continuas —es el ancestro de los teoremas de aproximación universal de redes. La palabra uniformemente es la que da fuerza: cerca en todo el dominio, no solo donde tuviste suerte.

Compacidad en espacios de funciones: Arzelà–Ascoli

Bolzano–Weierstrass decía: toda sucesión acotada de números tiene una subsucesión convergente. ¿Vale para funciones? No con solo acotación —hace falta también que la familia no se "deshilache". Una familia $\{f_n\}$ es equicontinua si un mismo $\delta$ controla a todas a la vez: para todo $\varepsilon$ existe $\delta$ con $\lvert x - y\rvert < \delta \Rightarrow \lvert f_n(x) - f_n(y)\rvert < \varepsilon$ para todo $n$.

Arzelà–Ascoli. Una sucesión de funciones sobre un compacto, uniformemente acotada y equicontinua, tiene una subsucesión que converge uniformemente.

Es el análogo de Bolzano–Weierstrass para espacios de funciones —acotación uniforme hace de "acotado", equicontinuidad hace de "no se deshilacha"—, y es el resultado de compacidad clave en dimensión infinita: aparece en las pruebas de existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales. (La aproximación de Weierstrass de arriba, por cierto, la generaliza Stone: una familia de funciones es densa si separa puntos y contiene a las constantes.)

Ejercicios (test M)

Receta: acotá $\lvert f_n(x)\rvert \le M_n$ con $M_n$ independiente de $x$ (usá que $\lvert\sin\rvert, \lvert\cos\rvert \le 1$) y decidí si $\sum M_n$ converge con las p-series.

A. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n^4}$. Cota $M_n = \frac{1}{n^4}$; $\sum \frac{1}{n^4}$ es p-serie con $p = 4 > 1$: converge. Sí converge uniformemente (y la suma es continua).

B. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}$. La cota natural es $M_n = \frac{1}{n}$, pero $\sum \frac{1}{n}$ es la armónica ($p=1$): diverge. El test M no concluye (la serie de hecho converge para cada $x$, pero no por esta vía: la convergencia no es uniforme cerca de $x=0$).

C. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + x^2}$ en todo $\mathbb{R}$. Quitando el $x^2 \ge 0$ del denominador, $\frac{1}{n^2 + x^2} \le \frac{1}{n^2} = M_n$, y $\sum \frac{1}{n^2}$ converge. Uniforme en todo $\mathbb{R}$.

El arco del capítulo: la puntual era traicionera (rompía la continuidad), la uniforme es la versión robusta, y el teorema de aproximación usa esa robustez para garantizar que lo simple imita lo complejo. La uniformidad no era un tecnicismo: era la propiedad que le da piso a toda la teoría de aproximación.