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Productos notables

Hay productos que aparecen tantas veces que conviene reconocerlos de un vistazo, sin multiplicar término a término. No son reglas nuevas: son la misma propiedad distributiva, memorizada como patrones. Y casi todos tienen una lectura geométrica —como áreas y volúmenes— que los vuelve evidentes.

De dónde sale todo: distributividad y conmutatividad

Nada acá se memoriza a ciegas: todo sale de dos reglas de los números. La distributividad $a(b+c) = ab + ac$ —el único axioma que conecta la suma con el producto, la "bisagra" entre $+$ y $\times$— y la conmutatividad $ab = ba$. Esa segunda, que parece inofensiva, es la que conviene tener fichada desde ya:

La advertencia que vuelve en álgebra lineal. El $2ab$ del cuadrado existe solo porque $ab = ba$: al expandir $(a+b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2$, los dos términos cruzados se funden en $2ab$ gracias a la conmutatividad. Pero las matrices no conmutan ($AB \neq BA$ en general), así que ahí $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2,$ y no $A^2 + 2AB + B^2$. El "$2$" es un privilegio del caso escalar. Es el error más común al saltar de escalares a matrices —tenelo presente para la Parte de álgebra lineal.

El cuadrado de un binomio

El término que casi todos olvidan es el $2ab$. Geométricamente es imposible olvidarlo: el cuadrado de lado $a+b$ se descompone en un $a^2$, un $b^2$ y dos rectángulos $ab$.

El error clásico. $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$. Esa igualdad solo valdría si $2ab = 0$. Elevar al cuadrado no se reparte sobre una suma.

El cubo de un binomio

Subiendo una dimensión, el cubo de lado $a+b$ se parte en ocho piezas que se agrupan en cuatro tipos:

Los coeficientes $1, 3, 3, 1$ no son casualidad: son una fila del triángulo de Pascal, y los exponentes de $a$ bajan mientras los de $b$ suben. Esa estructura se generaliza al teorema del binomio (lo vemos a fondo en series):

Diferencia de cuadrados

La más útil de todas, porque factoriza algo que no parecía factorizable. Geométrica: a un cuadrado $a^2$ le quitás $b^2$; la región en forma de L que queda se reacomoda en un rectángulo de lados $(a+b)$ y $(a-b)$ (probalo en el interactivo de arriba). Sirve para racionalizar, simplificar fracciones y resolver límites del tipo $\tfrac{0}{0}$.

Un bonus numérico. Calcular $a^2 - b^2$ cuando $a \approx b$ resta dos números casi iguales —cancelación catastrófica, se pierden cifras significativas—. Reescribirlo como $(a+b)(a-b)$ es numéricamente más estable: equivalencia algebraica no es equivalencia computacional. (Y esa estructura "cuadrado menos cuadrado" es también la de $\operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2$.)

Suma y diferencia de cubos

A diferencia de los cuadrados, ambas se factorizan:

Regla mnemotécnica: el binomio lleva el mismo signo que el original; el trinomio lleva el signo opuesto en el término del medio y es siempre $+b^2$. (El trinomio $a^2 \mp ab + b^2$ no es un cuadrado perfecto —le falta el factor $2$—, y por eso no se factoriza más sobre los reales.)

Trinomio cuadrado perfecto

Es el camino inverso del primer producto: reconocer cuándo un trinomio es un cuadrado.

El test: los extremos deben ser cuadrados ($a^2$ y $b^2$) y el término del medio debe ser exactamente $\pm 2ab = \pm 2\sqrt{a^2}\sqrt{b^2}$. Por ejemplo, $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$ porque $6 = 2 \cdot 3$; pero $x^2 + 5x + 9$ no lo es. Detectar esto es el corazón de completar el cuadrado, la técnica que abre la Parte II.

Recall activo

Resolvé sin mirar las tablas de arriba:

1. Expandí $(2x - 3)^2$.
2. Factorizá $x^2 - 49$.
3. Factorizá $8x^3 + 27$.
4. ¿Es $x^2 + 10x + 25$ un cuadrado perfecto? ¿De qué?

Soluciones: (1) $4x^2 - 12x + 9$; (2) $(x+7)(x-7)$; (3) $(2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$; (4) sí, $(x+5)^2$.

Lo que sigue

Estos cinco patrones son las herramientas de lectura. Darlos vuelta —pasar de la forma expandida a la forma de producto— es factorizar, la próxima lección.