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De la medida a la probabilidad

Queremos un lenguaje matemático preciso para una sola pregunta: ¿qué tan probable es que pase $X$? Pero antes de medir nada necesitamos el objeto que represente todo lo que podría pasar, y recién después hablar de afirmaciones concretas sobre el resultado. Ese es el plan de Kolmogorov, y es el piso sobre el que se para toda la inferencia —estimadores, máxima verosimilitud, tests—. Lo construimos de abajo hacia arriba: espacio muestral → eventos → σ-álgebra → axiomas → variable aleatoria → esperanza.

El espacio muestral: ¿contar o medir?

El espacio muestral $\Omega$ (o $S$) es "todo lo que podría pasar" en un experimento. Un evento es una afirmación sobre lo que pasó —formalmente, un subconjunto de $\Omega$. Tirar un dado: $\Omega = \{1,\dots,6\}$, y "salió par" es el evento $\{2,4,6\}$.

La distinción crítica no es estética, dicta cómo asignás probabilidades: separar los espacios contables (podés enumerarlos, aunque sean infinitos) de los no contables (como los reales).

El criterio de contabilidad: $\Omega$ es contable $\iff$ existe una inyección $\varphi : \Omega \to \mathbb{N}$ —podés etiquetar cada elemento con un natural sin repetir. Lo inquietante es que el mismo experimento físico cambia de naturaleza matemática según cómo lo midas: un tiempo de reacción vive en $(0,\infty)$ (no contable), pero redondeado al segundo vive en $\{0,1,2,\dots\}$ (contable).

Y la asignación de probabilidad funciona distinto en cada caso:

• Contable → sumás. Definís $p : \Omega \to [0,1]$ con $\sum_{\omega \in \Omega} p(\omega) = 1$, y para cualquier evento $A$, $P(A) = \sum_{\omega \in A} p(\omega).$ Todo subconjunto es un evento válido. Sin sutilezas.

• No contable → integrás, y aparece la teoría de la medida. Esto se rompe: no podés dar masa positiva a cada punto (sumarían infinito), y —peor— no todo subconjunto puede recibir probabilidad de forma consistente (paradojas de Vitali y Banach–Tarski). Te restringís a una σ-álgebra $\mathcal F$ de eventos "medibles" y trabajás con densidades, $P(A) = \int_A f(\omega)\, d\mu(\omega).$

Nota. En la práctica todo es contable —no medimos con precisión infinita—. Pero el aparato para espacios no contables es más limpio, no más engorroso. Por eso modelamos retornos diarios como continuos aunque vivan en una grilla de centavos: el cálculo es más simple y la aproximación, excelente.

El álgebra de eventos

Como los eventos son conjuntos, las preguntas compuestas son operaciones de conjuntos:

• Unión $A \cup B$ — "ocurrió $A$ o $B$".
• Intersección $A \cap B$ — "ocurrieron ambos".
• Complemento $A^c$ — "no ocurrió $A$".

Estas operaciones obedecen un álgebra completa. Conmutatividad y asociatividad son las esperables; lo que no tiene análogo en la aritmética es que la distributividad vale en las dos direcciones, y las leyes de De Morgan:

Demostración del caso distributivo $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$. Dos conjuntos son iguales $\iff$ tienen los mismos elementos, así que probamos doble contención.

• $(\subseteq)$ Sea $x \in A \cap (B \cup C)$. Entonces $x \in A$ y $x \in B\cup C$; es decir, $x \in A$ y ($x \in B$ o $x \in C$). Distribuyendo la lógica: ($x\in A$ y $x\in B$) o ($x\in A$ y $x\in C$), o sea $x \in (A\cap B)\cup(A\cap C)$.
• $(\supseteq)$ Sea $x \in (A\cap B)\cup(A\cap C)$. En cualquiera de los dos casos $x\in A$, y además $x\in B$ o $x\in C$, luego $x \in B\cup C$. Por tanto $x \in A\cap(B\cup C)$. $\;\blacksquare$

La prueba descansa enteramente en la distributividad de la lógica proposicional: «$P$ y ($Q$ o $R$)» $\equiv$ «($P$ y $Q$) o ($P$ y $R$)». Las identidades de conjuntos son identidades lógicas vestidas de conjuntos —y por eso un dibujo las vuelve obvias:

El álgebra de conjuntos se proyecta sobre el álgebra ordinaria de $\{0,1\}$ vía las funciones indicadoras $\mathbf{1}_A(\omega) = 1$ si $\omega\in A$ y $0$ si no:

Este puente es el que después convierte "probabilidad de un evento" en "esperanza de una indicadora": $P(A) = E[\mathbf{1}_A]$.

De Morgan en acción. "El sistema nunca falla en $n$ intentos" es $\bigcap_{i=1}^n \{X_i = \text{ok}\}$, que por De Morgan equivale a $\bigl(\bigcup_{i=1}^n \{X_i = \text{falla}\}\bigr)^c$. La segunda forma suele ser la que se calcula: la probabilidad de al menos una falla, restada de $1$. Negar un "para todo" lo vuelve un "existe", y eso reordena el cómputo entero.

σ-álgebras: qué preguntas son legales

El problema concreto: queremos definir $P : \text{dominio} \to [0,1]$. Lo natural sería tomar como dominio el conjunto potencia $\mathcal P(\Omega)$ —todos los subconjuntos. Para $\Omega$ contable funciona perfecto. Pero para $\Omega = \mathbb R$ o $(0,\infty)$ no existe una $P$ definida sobre todos los subconjuntos que sea consistente con propiedades básicas (Vitali).

La solución no es debilitar las propiedades de $P$ —es restringir su dominio a una colección $\mathcal F \subseteq \mathcal P(\Omega)$ suficientemente rica para contener los eventos interesantes, pero suficientemente disciplinada para esquivar los patológicos.

Definición (σ-álgebra). Una colección $\mathcal F$ de subconjuntos de $\Omega$ es una σ-álgebra si:

1. $\varnothing \in \mathcal F$;
2. cerrada por complemento: $A \in \mathcal F \Rightarrow A^c \in \mathcal F$;
3. cerrada por uniones numerables: $A_1, A_2, \dots \in \mathcal F \Rightarrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal F$.

De estos tres salen gratis los demás cierres:

• $\Omega \in \mathcal F$, porque $\varnothing \in \mathcal F$ (1) y $\Omega = \varnothing^{\,c}$ (2).
• Intersecciones numerables. Por De Morgan, $\bigcap_i A_i = \bigl(\bigcup_i A_i^c\bigr)^c$. Cada $A_i^c \in \mathcal F$ (2), su unión numerable está (3), y el complemento de eso vuelve a estar (2). Por eso la definición pide solo complementos y uniones: la intersección viene de regalo.

¿Por qué numerables y no finitas ni arbitrarias?

• Solo finitas es demasiado débil: no podés formar eventos de límite como "el precio cruza el umbral en algún momento" $= \bigcup_{t=1}^\infty \{X_t > c\}$.
• Arbitrarias (incontables) es demasiado fuerte: cada singleton $\{x\}$ tendría probabilidad $0$, pero $\bigcup_{x\in[0,1]}\{x\} = [0,1]$ debería tener probabilidad $1$ —contradicción si se permitieran uniones incontables.
• Numerables es el punto dulce: alcanza para todos los límites del análisis sin caer en patologías.

La σ-álgebra estrella es la de Borel $\mathcal B(\mathbb R)$: la generada por los intervalos abiertos. Contiene todo lo que uno querría medir, y toda función continua es Borel-medible.

El concepto de axiomas mínimos. Los tres axiomas son el contrato mínimo: lo menos que le pedís a un objeto para que merezca el nombre. Un buen sistema cumple dos cosas en tensión —suficiencia (todo el resto se deduce como teoremas) e independencia (ninguno se deriva de los otros). El pago es doble: generalidad (cualquier cosa que satisfaga los tres —sobre $\{1,2,3\}$, sobre $\mathbb R$, sobre trayectorias de procesos— hereda todos los teoremas) y verificabilidad (para probar que algo es σ-álgebra, chequeás tres cosas).

Y acá está la lectura que casi nadie explica bien: una vez fijada $\mathcal F$, es la información disponible. Son las preguntas que podés responder. Agregá preguntas y mirá cómo se refina lo que se vuelve medible:

Cuando dos resultados caen en el mismo "átomo", son indistinguibles con esa información. Esta lectura —σ-álgebra = información— es la que vuelve naturales las filtraciones y la esperanza condicional del final.

Los axiomas de Kolmogorov

Fijado el par $(\Omega, \mathcal F)$, una medida de probabilidad es una función $P : \mathcal F \to \mathbb R$ que cumple:

1. No negatividad: $P(A) \ge 0$ para todo $A \in \mathcal F$.
2. Normalización: $P(\Omega) = 1$.
3. σ-aditividad: si $A_1, A_2, \dots \in \mathcal F$ son disjuntos dos a dos, $P\!\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i).$

Los dos primeros son contabilidad básica: $P$ mide "cuánto pesa" un evento (como un área o una masa: sin signo), y $P(\Omega)=1$ ancla la escala ("algo tiene que pasar"). El tercero es el axioma profundo. Lo no trivial es exigirlo para uniones infinitas numerables: es lo que mete el análisis dentro de la probabilidad. Sin σ-aditividad no podés pasar al límite dentro de $P$, se cae $P(\liminf A_n) \le \liminf P(A_n)$, muere Borel–Cantelli y la ley fuerte de los grandes números ni siquiera se puede formular.

Todo lo demás son teoremas. De los tres axiomas:

• $P(\varnothing) = 0$. Escribí $\Omega = \Omega \cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots$ (disjuntos). Por σ-aditividad, $P(\Omega) = P(\Omega) + \sum_{n\ge1} P(\varnothing)$, o sea $1 = 1 + \sum P(\varnothing)$. Una serie de términos $\ge 0$ que suma $0$ obliga a cada término a ser $0$. $\blacksquare$
• Aditividad finita. Completá $A_1,\dots,A_n$ con $A_{n+1} = A_{n+2} = \cdots = \varnothing$ y aplicá σ-aditividad.
• Complemento: $P(A^c) = 1 - P(A)$, de $\Omega = A \cup A^c$ disjuntos.
• Monotonía: $A \subseteq B \Rightarrow P(A) \le P(B)$, escribiendo $B = A \cup (B\setminus A)$ disjuntos. Corolario: tomando $B = \Omega$ sale $P(A) \le 1$ —la cota superior no es un axioma, es un teorema.
• Inclusión–exclusión: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• Desigualdad de Boole (subaditividad): $P\!\left(\bigcup_n A_n\right) \le \sum_n P(A_n)$, aunque no sean disjuntos.
• Continuidad por debajo: si $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots$, entonces $P\!\left(\bigcup_n A_n\right) = \lim_{n\to\infty} P(A_n)$ —σ-aditividad disfrazada, y la que te deja pasar al límite dentro de $P$.

La terna $(\Omega, \mathcal F, P)$

Toda la probabilidad vive en este objeto de tres piezas, sostenido por seis axiomas:

Y cada operación de conjuntos es una pregunta probabilística concreta:

Las dos últimas filas son donde viven los lemas de Borel–Cantelli —y solo existen porque tenés σ-aditividad. Son, además, exactamente el lenguaje en el que se enuncia la convergencia casi segura de la ley fuerte.

Variable aleatoria y su ley

Una variable aleatoria no es "un número que varía al azar": es una función medible $X : \Omega \to \mathbb{R}$ —medible significa que $\{X \le x\}$ es un evento (está en $\mathcal{F}$), para que tenga sentido preguntar su probabilidad.

Lo potente es que $X$ transporta la probabilidad de $\Omega$ a la recta. La ley (o distribución) de $X$ es la medida pushforward:

Empujás la medida de $\Omega$ a través de $X$ y obtenés una medida sobre los valores. Mirá cómo una misma fuente uniforme, pasada por distintas funciones, produce leyes completamente distintas:

Y acá aparece el objeto universal: la función de distribución acumulada

La CDF describe la ley de cualquier variable —discreta, continua o mezcla— con un solo lenguaje. Su versión Stieltjes $\int g\,dF_X$ (de la lección de integración) unifica sumas y densidades; ya la viste venir.

Esperanza = integral de Lebesgue

La integral de Lebesgue dejó esto listo: la esperanza no es un caso aparte de "promedio ponderado", es la integral de Lebesgue de $X$ contra la medida de probabilidad,

Y se construye igual que en Lebesgue: primero para funciones simples (que toman pocos valores), donde $E[s] = \sum_k y_k\, P(\{s = y_k\})$ —valor por probabilidad—, y después subiendo simples por debajo hacia $X$. Mirá $E[s_n]$ trepar a $E[X]$:

En la práctica casi nunca integrás sobre $\Omega$: usás la ley. Es el teorema del estadístico inconsciente (LOTUS):

donde $p = dP_X/d\mu$ es la densidad (la derivada de Radon–Nikodym). De la integral de Lebesgue, la esperanza hereda gratis linealidad ($E[aX + Y] = aE[X] + E[Y]$), monotonía ($X \le Y \Rightarrow E[X] \le E[Y]$), y sobre todo los teoremas de convergencia (monótona, dominada): son los que justifican $E[\lim X_n] = \lim E[X_n]$, el paso al límite del que dependen las pruebas de consistencia.

Hacia dónde lleva esto

Estos seis axiomas no son decoración: habilitan la maquinaria que viene después.

• Filtraciones. Una filtración $\{\mathcal F_t\}_{t\ge 0}$ es una familia creciente de σ-álgebras, $\mathcal F_s \subseteq \mathcal F_t$ para $s \le t$: "todo lo que un observador sabe al tiempo $t$". La σ-álgebra como información se vuelve información que se acumula.
• Esperanza condicional. $E[\,\cdot \mid \mathcal F_t]$ —la mejor predicción dada la información hasta $t$— requiere que $\mathcal F_t$ sea una σ-álgebra; no funciona sobre colecciones arbitrarias. Es el corazón de toda predicción y de las martingalas.
• Medibilidad respecto a la información. Una variable es $\mathcal F_t$-medible si se puede calcular con lo que se sabe hasta $t$. Usar una que no lo es —que depende del futuro— es el look-ahead bias, formalizado: medir contra la σ-álgebra equivocada.
• Cambio de medida. Si definís $d\tilde P = Z\, dP$, obtenés otra función que satisface los mismos tres axiomas sobre la misma σ-álgebra. La medida riesgo-neutral $\mathbb Q$ del pricing de derivados no es magia: es otro $P$ legal. El no-arbitraje descansa en la equivalencia $\mathbb Q(A) > 0 \iff \mathbb P(A) > 0$ —la distinción $\mathbb P$ vs $\mathbb Q$ que separa "lo que pasa" de "cómo se valora".

Lo que sigue

"Variable aleatoria", "distribución" y "esperanza" dejan de ser definiciones sueltas: son función medible, medida pushforward e integral —la teoría de la medida con masa $1$, parada sobre seis axiomas—. Con la probabilidad rigurosa en la mano, ya la pusimos a converger en los teoremas límite; el próximo paso es ponerla a trabajar sobre datos: estimadores y sus propiedades, máxima verosimilitud, intervalos y tests.