Continuidad

Continuidad es la formalización de "la función no da saltos". Su definición es el juego ε-N de las sucesiones con un primo cercano, el ε-δ. Y su clímax es Weierstrass, donde la propiedad del supremo (Cap. 1), la compacidad (Cap. 2) y la continuidad (Cap. 4) se encadenan en una sola prueba: el óptimo de una función continua sobre un compacto existe y se alcanza.

1. El límite de una función

$\lim_{x\to p} f(x) = L$ significa: cuando $x$ se acerca a $p$ —sin necesariamente ser $p$ —, los valores $f(x)$ se acercan a $L$ . Mismo espíritu que el límite de sucesiones, pero el "índice" no es un $n$ que crece, sino un $x$ que se aproxima a un punto.

\lim_{x\to p} f(x) = L \;\Longleftrightarrow\; \forall\,\varepsilon>0\;\;\exists\,\delta>0 : \; 0 < \lvert x - p\rvert < \delta \;\Rightarrow\; \lvert f(x) - L\rvert < \varepsilon.

El juego, ahora con dos ejes: retás con una tolerancia $\varepsilon$ en el eje $y$ (qué tan cerca de $L$ debe quedar $f(x)$ ), y la función responde con un $\delta$ en el eje $x$ (qué tan cerca de $p$ hay que poner $x$ ). Si para todo $\varepsilon$ hay un $\delta$ que funciona, el límite es $L$ :

El juego ε-δ — interactivof(x) = x² · p = 1 · L = 1

ε = 0.50achicá ε y mirá achicar δ

Retás con ε = 0.50 (banda horizontal). La función responde con δ = 0.225 (banda vertical): para todo x con |x − 1| < δ, la curva queda atrapada dentro de |f(x) − 1| < ε. Por chico que pongas ε, siempre hay δ. Eso es que el límite vale 1.

El detalle clave: $x \neq p$ . La condición $0 < \lvert x - p\rvert$ excluye el punto mismo. El límite mira la vecindad de $p$ , no $p$ : la función podría ni estar definida en $p$ , o valer otra cosa ahí, y el límite seguiría siendo $L$ .

2. Continuidad

$f$ es continua en $p$ si, al acercarte a $p$ , los valores se acercan a $f(p)$ —el valor que la función realmente toma. No hay sorpresa ni salto: el destino al que apuntan los valores cercanos coincide con el valor en el punto.

f \text{ continua en } p \;\Longleftrightarrow\; \forall\,\varepsilon>0\;\;\exists\,\delta>0 : \; \lvert x - p\rvert < \delta \;\Rightarrow\; \lvert f(x) - f(p)\rvert < \varepsilon.

Dos diferencias con el límite: aparece $f(p)$ (no un $L$ genérico), y desaparece el $0<$ (ahora se permite $x = p$ , donde la condición se cumple trivialmente). La equivalencia que organiza todo el capítulo:

f \text{ continua en } p \;\Longleftrightarrow\; \lim_{x\to p} f(x) = f(p).

Son tres cosas a la vez: (i) el límite existe; (ii) $f(p)$ está definido; (iii) son iguales. Si falla cualquiera, no hay continuidad. El matiz fino: la continuidad no es lo que "permite evaluar" — $f(p)$ se evalúa siempre que esté definido—, sino lo que garantiza que evaluar y tomar el límite den el mismo número. En una discontinua, $f(p)$ te mentiría sobre hacia dónde apunta la función.

El criterio secuencial (el puente con el Cap. 3)

f \text{ continua en } p \;\Longleftrightarrow\; \bigl(x_n \to p \;\Rightarrow\; f(x_n) \to f(p)\bigr),

es decir $f(\lim x_n) = \lim f(x_n)$ : podés meter el límite adentro o afuera de la función. Es la forma más práctica de probar que algo no es continuo: encontrá $x_n \to p$ con $f(x_n)$ yéndose a otro lado.

Ejemplo (la función escalón). $f(x) = 0$ si $x<0$ , $f(x)=1$ si $x\ge 0$ . En $p=0$ : la sucesión $-\tfrac1n \to 0$ da $f(-\tfrac1n)=0\to 0$ , pero $+\tfrac1n \to 0$ da $f(+\tfrac1n)=1\to 1$ . Dos sucesiones al mismo punto con imágenes a destinos distintos: el límite no existe. La discontinuidad hecha sucesiones.

En tu stack, esto es el teorema de mapeo continuo: si $\hat\theta_n \to \theta$ y $g$ es continua, entonces $g(\hat\theta_n)\to g(\theta)$ . Es lo que usás al decir "como el estimador es consistente, toda transformación continua de él también lo es".

3. Continuidad sobre compactos — donde se junta todo

Recordá que en $\mathbb{R}^n$ , compacto = cerrado y acotado (Heine–Borel). El hecho central:

La imagen continua de un compacto es compacta. Si $f$ es continua y $K$ es compacto, entonces $f(K)$ también lo es. Sin saltos, la función no puede mandar puntos al infinito (rompe lo acotado) ni abrir huecos (rompe lo cerrado).

De ahí cae el teorema que justifica media estadística:

Teorema de Weierstrass (valores extremos). Una función continua sobre un compacto alcanza su máximo y su mínimo en puntos del conjunto.

La prueba encadena los tres capítulos —es el corazón del curso:

$K$ compacto $+$ $f$ continua $\Rightarrow$ $f(K)$ compacto.
$f(K)$ compacto $\Rightarrow$ cerrado y acotado (Heine–Borel, Cap. 2).
$f(K)$ acotado $\Rightarrow$ tiene supremo $M = \sup f(K)$ (propiedad del supremo, Cap. 1).
$f(K)$ cerrado $\Rightarrow$ contiene a $M$ (un cerrado atrapa sus puntos límite, y $M$ lo es).
Luego existe $x^{*} \in K$ con $f(x^{*}) = M$ : el máximo se alcanza. $\;\blacksquare$

Esto es lo que vuelve "el máximo de la verosimilitud existe" un hecho demostrado y no una esperanza. Mirá el máximo y el mínimo tocarse sobre un compacto:

Weierstrass + valor intermedio — interactivof continua en [0, 5.5] (compacto)

c = 0.983 puntos donde f(x) = c

Weierstrass: sobre el compacto [0, 5.5] la función alcanza su máximo (2.24) y su mínimo (-0.28) en puntos del intervalo — no son un supremo inalcanzable, son valores que toca. Valor intermedio: mové c entre el mín y el máx y siempre hay al menos un x con f(x) = c. Sin levantar el lápiz, no podés saltarte ningún nivel.

Cómo encontrar los óptimos en $[a,b]$ . Para $f$ continua, los candidatos están solo en dos lugares: los extremos $a$ y $b$ , y los quiebres internos donde la función deja de subir y empieza a bajar (se hallan con derivadas, Cap. 5). Por ejemplo, $f(x)=x^2$ sobre $[1,4]$ solo sube: comparás extremos, $f(1)=1$ y $f(4)=16$ , así que máximo $16$ en $x=4$ . El $0$ (mínimo global de $x^2$ ) no entra: está fuera del intervalo. El óptimo depende del conjunto donde buscás.

Otras dos consecuencias sobre compactos:

Valor intermedio. Si $f$ es continua en $[a,b]$ y toma dos valores, toma todos los intermedios: si $f(a)=2$ y $f(b)=7$ , para todo $c\in[2,7]$ hay un punto con $f=c$ . Sin levantar el lápiz no podés saltarte el $5$ — es la base de la bisección (lo ves en el interactivo de arriba moviendo $c$ ).
Continuidad uniforme. Sobre un compacto, una función continua es uniformemente continua: el mismo $\delta$ sirve para todos los puntos a la vez. Da control uniforme del error en todo el dominio.

4. Tipos de discontinuidad

Cuando la continuidad se rompe, lo hace de formas reconocibles. Cambiá entre ellas:

Tipos de discontinuidad — interactivo

f(x) = (x²−1)/(x−1)

¿límite? sí existe

¿reparable? reparable (redefinir f(1)=2)

Evitable (removable). El límite existe, pero $f(p)$ no está definido o vale otra cosa. Un hueco reparable redefiniendo $f(p)$ igual al límite. Ejemplo: $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ para $x\neq 1$ ; en $x=1$ es $\frac00$ , pero el límite es $2$ , así que se repara con $f(1)=2$ .
De salto. Los límites laterales existen pero son distintos (la escalón). No se repara cambiando un punto.
Oscilatoria / infinita. El límite no existe por oscilación ( $\sin(1/x)$ cerca de $0$ ) o por explosión ( $1/x \to \pm\infty$ ).

La distinción operativa: una evitable es un hueco puntual que el límite rellena; las esenciales son rupturas reales. En cómputo, una singularidad evitable se maneja con límites; una esencial hay que tratarla con cuidado o evitarla.

Cierre

Continuidad es $\lim_{x\to p} f(x) = f(p)$ : el destino al que apunta la función coincide con su valor. El criterio secuencial la enlaza con las sucesiones, y sobre compactos nace Weierstrass —la prueba donde la propiedad del supremo, Heine–Borel y la continuidad se unen para garantizar que el óptimo existe y se realiza. Es el cimiento analítico de toda estimación por maximización.