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Continuidad

Continuidad es la formalización de "la función no da saltos". Su definición es el juego ε-N de las sucesiones con un primo cercano, el ε-δ. Y su clímax es Weierstrass, donde la propiedad del supremo (Cap. 1), la compacidad (Cap. 2) y la continuidad (Cap. 4) se encadenan en una sola prueba: el óptimo de una función continua sobre un compacto existe y se alcanza.

1. El límite de una función

$\lim_{x\to p} f(x) = L$ significa: cuando $x$ se acerca a $p$ —sin necesariamente ser $p$—, los valores $f(x)$ se acercan a $L$. Mismo espíritu que el límite de sucesiones, pero el "índice" no es un $n$ que crece, sino un $x$ que se aproxima a un punto.

El juego, ahora con dos ejes: retás con una tolerancia $\varepsilon$ en el eje $y$ (qué tan cerca de $L$ debe quedar $f(x)$), y la función responde con un $\delta$ en el eje $x$ (qué tan cerca de $p$ hay que poner $x$). Si para todo $\varepsilon$ hay un $\delta$ que funciona, el límite es $L$:

El detalle clave: $x \neq p$. La condición $0 < \lvert x - p\rvert$ excluye el punto mismo. El límite mira la vecindad de $p$, no $p$: la función podría ni estar definida en $p$, o valer otra cosa ahí, y el límite seguiría siendo $L$.

2. Continuidad

$f$ es continua en $p$ si, al acercarte a $p$, los valores se acercan a $f(p)$ —el valor que la función realmente toma. No hay sorpresa ni salto: el destino al que apuntan los valores cercanos coincide con el valor en el punto.

Dos diferencias con el límite: aparece $f(p)$ (no un $L$ genérico), y desaparece el $0<$ (ahora se permite $x = p$, donde la condición se cumple trivialmente). La equivalencia que organiza todo el capítulo:

Son tres cosas a la vez: (i) el límite existe; (ii) $f(p)$ está definido; (iii) son iguales. Si falla cualquiera, no hay continuidad. El matiz fino: la continuidad no es lo que "permite evaluar" —$f(p)$ se evalúa siempre que esté definido—, sino lo que garantiza que evaluar y tomar el límite den el mismo número. En una discontinua, $f(p)$ te mentiría sobre hacia dónde apunta la función.

El criterio secuencial (el puente con el Cap. 3)

es decir $f(\lim x_n) = \lim f(x_n)$: podés meter el límite adentro o afuera de la función. Es la forma más práctica de probar que algo no es continuo: encontrá $x_n \to p$ con $f(x_n)$ yéndose a otro lado.

Ejemplo (la función escalón). $f(x) = 0$ si $x<0$, $f(x)=1$ si $x\ge 0$. En $p=0$: la sucesión $-\tfrac1n \to 0$ da $f(-\tfrac1n)=0\to 0$, pero $+\tfrac1n \to 0$ da $f(+\tfrac1n)=1\to 1$. Dos sucesiones al mismo punto con imágenes a destinos distintos: el límite no existe. La discontinuidad hecha sucesiones.

Es el teorema de mapeo continuo: una función continua conmuta con los límites, $f(\lim x_n) = \lim f(x_n)$ —podés meter el límite adentro o afuera de $f$.

La caracterización topológica (continuidad sin distancias)

Hay una tercera forma de decir "continua", puramente en términos de abiertos:

$f : X \to Y$ es continua en todo $X$ $\iff$ $f^{-1}(V)$ es abierto para todo abierto $V \subseteq Y$. («preimagen de abierto es abierto».)

Prueba. $(\Rightarrow)$ Si $p \in f^{-1}(V)$, entonces $f(p) \in V$ abierto, hay $N_\varepsilon(f(p)) \subseteq V$, y por continuidad $f(N_\delta(p)) \subseteq N_\varepsilon(f(p)) \subseteq V$: $p$ es interior. $(\Leftarrow)$ Dado $\varepsilon$, $V = N_\varepsilon(f(p))$ es abierto, así que $f^{-1}(V)$ también y contiene a $p$; hay $N_\delta(p) \subseteq f^{-1}(V)$, o sea $f(N_\delta(p)) \subseteq N_\varepsilon(f(p))$. $\;\blacksquare$ Esta es la definición que adopta la topología general —revela que la continuidad depende solo de la estructura de abiertos, no de las distancias concretas.

3. Continuidad sobre compactos — donde se junta todo

Recordá que en $\mathbb{R}^n$, compacto = cerrado y acotado (Heine–Borel). El hecho central:

La imagen continua de un compacto es compacta. Si $f$ es continua y $K$ es compacto, entonces $f(K)$ también lo es. Sin saltos, la función no puede mandar puntos al infinito (rompe lo acotado) ni abrir huecos (rompe lo cerrado).

De ahí cae uno de los teoremas centrales del análisis:

Teorema de Weierstrass (valores extremos). Una función continua sobre un compacto alcanza su máximo y su mínimo en puntos del conjunto.

La prueba encadena los tres capítulos —es el corazón del curso:

1. $K$ compacto $+$ $f$ continua $\Rightarrow$ $f(K)$ compacto.
2. $f(K)$ compacto $\Rightarrow$ cerrado y acotado (Heine–Borel, Cap. 2).
3. $f(K)$ acotado $\Rightarrow$ tiene supremo $M = \sup f(K)$ (propiedad del supremo, Cap. 1).
4. $f(K)$ cerrado $\Rightarrow$ contiene a $M$ (un cerrado atrapa sus puntos límite, y $M$ lo es).
5. Luego existe $x^{*} \in K$ con $f(x^{*}) = M$: el máximo se alcanza. $\;\blacksquare$

Esto es lo que vuelve "el óptimo existe" un hecho demostrado y no una esperanza —el ingrediente que convierte "el conjunto de valores está acotado" en "hay un punto donde se realiza el máximo". Mirá el máximo y el mínimo tocarse sobre un compacto:

Cómo encontrar los óptimos en $[a,b]$. Para $f$ continua, los candidatos están solo en dos lugares: los extremos $a$ y $b$, y los quiebres internos donde la función deja de subir y empieza a bajar (se hallan con derivadas, Cap. 5). Por ejemplo, $f(x)=x^2$ sobre $[1,4]$ solo sube: comparás extremos, $f(1)=1$ y $f(4)=16$, así que máximo $16$ en $x=4$. El $0$ (mínimo global de $x^2$) no entra: está fuera del intervalo. El óptimo depende del conjunto donde buscás.

El teorema del valor intermedio

Valor intermedio (IVT). Si $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ es continua y $c$ está entre $f(a)$ y $f(b)$, existe $x \in (a,b)$ con $f(x) = c$. Una función continua no se saltea ningún valor intermedio.

Prueba (caso $f(a) < c < f(b)$). Sea $E = \{t \in [a,b] : f(t) < c\}$, no vacío ($a \in E$) y acotado; por la propiedad del supremo existe $x = \sup E$. Si $f(x) < c$, por continuidad $f < c$ en un entorno de $x$, así que hay puntos de $E$ mayores que $x$ —contra $x = \sup E$. Si $f(x) > c$, por continuidad $f > c$ cerca de $x$, así que $x$ no es punto límite de $E$ y habría una cota menor —contra $x = \sup E$. Solo queda $f(x) = c$. $\;\blacksquare$ El supremo, otra vez, es el motor, y es la base teórica de la bisección (movés $c$ en el interactivo de arriba). El IVT exige el dominio conexo: sobre un intervalo con huecos, falla.

Continuidad uniforme

La continuidad ordinaria permite que el $\delta$ dependa del punto. La uniforme pide un único $\delta$ para todos:

$f$ es uniformemente continua si para todo $\varepsilon > 0$ existe un solo $\delta > 0$ tal que $d(x,y) < \delta \Rightarrow d(f(x), f(y)) < \varepsilon$, válido en todo el dominio a la vez.

La distinción es real: $f(x) = \tfrac1x$ en $(0,1)$ es continua pero no uniformemente —cerca de $0$ se empina sin cota, y el $\delta$ debe achicarse sin límite—; lo mismo $f(x) = x^2$ en todo $\mathbb{R}$. Pero la compacidad lo arregla:

Continua sobre compacto $\Rightarrow$ uniformemente continua. Por continuidad cada $p$ tiene su $\delta_p$; las bolas $N_{\delta_p/2}(p)$ cubren $K$, finitas bastan, y $\delta = \tfrac12\min(\delta_{p_1}, \dots, \delta_{p_n}) > 0$ (¡la finitud!) sirve para todos. $\;\blacksquare$

Es, además, la razón de fondo por la que las funciones continuas son Riemann-integrables sobre $[a,b]$ (Cap. 6): hace falta controlar la oscilación uniformemente, y la compacidad de $[a,b]$ lo garantiza.

4. Tipos de discontinuidad

Cuando la continuidad se rompe, lo hace de formas reconocibles. Cambiá entre ellas:

• Evitable (removable). El límite existe, pero $f(p)$ no está definido o vale otra cosa. Un hueco reparable redefiniendo $f(p)$ igual al límite. Ejemplo: $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ para $x\neq 1$; en $x=1$ es $\frac00$, pero el límite es $2$, así que se repara con $f(1)=2$.
• De salto. Los límites laterales existen pero son distintos (la escalón). No se repara cambiando un punto.
• Oscilatoria / infinita. El límite no existe por oscilación ($\sin(1/x)$ cerca de $0$) o por explosión ($1/x \to \pm\infty$).

La distinción operativa: una evitable es un hueco puntual que el límite rellena; las esenciales son rupturas reales. En cómputo, una singularidad evitable se maneja con límites; una esencial hay que tratarla con cuidado o evitarla. Formalmente, si ambos límites laterales $f(p^-), f(p^+)$ existen la discontinuidad es de primera especie (de salto si difieren, evitable si coinciden pero no igualan a $f(p)$); si alguno no existe, de segunda especie.

Funciones monótonas: asombrosamente dóciles

Una función monótona $f : (a,b) \to \mathbb{R}$ solo puede tener saltos (nunca discontinuidades esenciales), y el conjunto de sus discontinuidades es a lo sumo contable.

Prueba (creciente). En cada punto existen ambos límites laterales ($f(p^-) = \sup_{x<p} f$, $f(p^+) = \inf_{x>p} f$, por la propiedad del supremo): no hay esenciales. En cada salto, el intervalo abierto $(f(p^-), f(p^+))$ es no vacío y disjunto de los demás (por monotonía), y cada uno contiene un racional distinto; como $\mathbb{Q}$ es contable, hay a lo sumo contables saltos. $\;\blacksquare$ Una monótona puede tener infinitas discontinuidades, pero nunca más que $\mathbb{N}$ —un caso temprano de cómo la contabilidad controla "cuántas cosas malas" pueden pasar, preludio de los conjuntos de medida cero del Cap. 11.

Cierre

Continuidad es $\lim_{x\to p} f(x) = f(p)$: el destino al que apunta la función coincide con su valor. El criterio secuencial la enlaza con las sucesiones, y sobre compactos nace Weierstrass —la prueba donde la propiedad del supremo, Heine–Borel y la continuidad se unen para garantizar que el óptimo existe y se realiza. Es uno de los cimientos del análisis moderno.