Topología y compacidad

En espacios métricos vimos que con una sola función de distancia $d$ aparecen las bolas. La topología es el paso siguiente: olvidarse de los números y quedarse solo con qué conjuntos son abiertos. Sobre esa noción mínima se reconstruyen el límite, la continuidad y —el premio mayor— la compacidad, la propiedad que hace existir los óptimos.

Abiertos, cerrados y la frontera

La bola abierta $B(p, r) = \{\, x : d(x, p) < r \,\}$ es el ladrillo. Con ella:

$p$ es un punto interior de $E$ si alguna bola alrededor suyo entra entera en $E$ : $\exists\, r > 0$ con $B(p, r) \subseteq E$ .
$E$ es abierto si todos sus puntos son interiores.
$E$ es cerrado si su complemento es abierto.

Movés el punto y mirás las tres posibilidades —dentro, en el borde, fuera:

Interior, frontera, exterior — interactivopunto interior

p es punto interior. La bola B(p, 0.30) entra entera en S: hay una bola adentro, eso define que p sea interior.

pₓ = 0.60p_y = 0.30ε = 0.30

Un conjunto es abierto si todos sus puntos son interiores (siempre cabe una bola). Es cerrado si contiene su frontera. El disco unitario cerrado incluye su borde ∂S, así que es cerrado; el disco abierto lo excluye, y es abierto.

La distinción no es "con borde o sin borde" en el sentido vago: es si cabe una bola. En un punto interior siempre cabe; en uno de la frontera, ninguna bola se queda del todo adentro (toca $E$ y su complemento a la vez).

Puntos límite y clausura

Un punto $p$ es punto límite (o de acumulación) de $E$ si toda bola a su alrededor contiene puntos de $E$ distintos de $p$ :

\forall\, r > 0 : \bigl(B(p, r) \setminus \{p\}\bigr) \cap E \neq \varnothing .

$p$ no necesita estar en $E$ : es un punto al que $E$ se acerca arbitrariamente. La clausura $\overline{E}$ es $E$ junto con todos sus puntos límite. Y la caracterización que lo conecta todo:

E \text{ es cerrado} \;\Longleftrightarrow\; E \text{ contiene a todos sus puntos límite} \;\Longleftrightarrow\; \overline{E} = E .

"Un cerrado atrapa sus puntos límite": esa frase, que usamos al demostrar Weierstrass, es exactamente esto.

Cubrimientos y compacidad

Acá aparece la idea más profunda del capítulo, y la menos intuitiva al principio. Un cubrimiento abierto de $E$ es una familia de conjuntos abiertos $\{U_\alpha\}$ cuya unión contiene a $E$ . Un subcubrimiento finito es elegir finitos de ellos que ya alcancen para cubrir $E$ .

$E$ es compacto si todo cubrimiento abierto admite un subcubrimiento finito.

Lo desconcertante es el "todo": no basta que algún cubrimiento se pueda recortar a finitos; tiene que poder siempre. Para ver que algo no es compacto, alcanza con exhibir un cubrimiento sin subcubrimiento finito. Mirá $(0, 1]$ cubierto por $U_n = \left(\tfrac{1}{n+1},\, 2\right)$ :

Cubrimiento abierto de (0,1] — interactivoUₙ = (1/(n+1), 2)

k = 3 conjuntossumá conjuntos y mirá el hueco que no cierra

Con k conjuntos cubrís hasta 1/(k+1) = 0.2500, pero queda (0, 0.2500] afuera. Por más que aumentes k, el borde es 1/(k+1) > 0: el hueco se achica pero nunca llega a 0. Ningún subconjunto finito cubre (0,1] → no es compacto. El problema es el 0, que (0,1] no contiene. En [0,1], en cambio, cualquier abierto que cubra el 0 tapa toda una vecindad suya, y entonces alcanzan finitos: es compacto.

La unión de los primeros $k$ es $\left(\tfrac{1}{k+1},\, 2\right)$ : siempre deja afuera $\left(0,\, \tfrac{1}{k+1}\right]$ . Como $\tfrac{1}{k+1} > 0$ para todo $k$ , ningún número finito de ellos cubre $(0,1]$ . No es compacto — y el culpable es el $0$ , punto límite que $(0,1]$ no contiene (no es cerrado).

El teorema de Heine-Borel

En general, compacidad es algo abstracto. En $\mathbb{R}^n$ se vuelve concreto y verificable:

Heine-Borel. Un conjunto $E \subseteq \mathbb{R}^n$ es compacto si y solo si es cerrado y acotado.

Por eso $[a, b]$ es compacto (cerrado y acotado) y $(0, 1]$ no (no es cerrado), y $\mathbb{R}$ tampoco (no es acotado). Es la herramienta que vuelve usable la compacidad: en lugar de revisar todos los cubrimientos, chequeás dos cosas.

Ambas direcciones tienen prueba, y vale la pena ver el mecanismo:

Compacto $\Rightarrow$ cerrado y acotado (en cualquier espacio métrico). Acotado: las bolas $N_1(p)$ con $p \in K$ cubren $K$ ; por compacidad bastan finitas, cuyos centros y radios meten $K$ en una bola grande. Cerrado: dado $p \notin K$ , separá $p$ de cada $q \in K$ con bolas disjuntas de radio $\tfrac12 d(p,q)$ ; finitas cubren $K$ , y el menor radio da una bola en $p$ que no toca $K$ —así $K^c$ es abierto. $\;\blacksquare$

Recíproco (Heine–Borel, propio de $\mathbb{R}^n$ ). Un cerrado y acotado vive en una caja $[-M, M]^n$ . La caja es compacta por bisección: si tuviera un cubrimiento sin subcubrimiento finito, partiéndola en $2^n$ subcajas, una también lo tendría; repitiendo, los tamaños $\to 0$ y se llega a un punto que ningún abierto puede cubrir —contradicción. Y un cerrado dentro de un compacto es compacto. $\;\blacksquare$

Heine–Borel falla fuera de $\mathbb{R}^n$ . En dimensión infinita, "cerrado y acotado" ya no implica compacto: la bola unidad cerrada de un espacio de Hilbert de dimensión infinita es cerrada y acotada pero no compacta. La dimensión finita es la hipótesis oculta.

Bolzano–Weierstrass

Una consecuencia que se usa en todas partes:

Bolzano–Weierstrass. Todo subconjunto infinito y acotado de $\mathbb{R}^n$ tiene al menos un punto límite. Equivalente: toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.

Prueba. Sea $E$ infinito y acotado, contenido en una caja $K$ (compacta por Heine–Borel). Si $E$ no tuviera punto límite, cada $q \in K$ tendría una vecindad con a lo sumo un punto de $E$ ; esas vecindades cubren $K$ , y por compacidad bastan finitas —pero entonces $E$ , cubierto por finitas vecindades con $\le 1$ punto cada una, sería finito. Contradicción. $\;\blacksquare$

Es el motor detrás de "toda sucesión acotada tiene una subsucesión que converge", un ladrillo que reaparece en innumerables pruebas de existencia.

Tres propiedades que vamos a usar

Compacto $\Rightarrow$ cerrado y acotado (en cualquier espacio métrico; el recíproco es Heine-Borel, válido en $\mathbb{R}^n$ ).
Un cerrado dentro de un compacto es compacto. Recortás sin perder la propiedad.
La imagen continua de un compacto es compacta (lo vimos en continuidad): es el corazón de Weierstrass.

Con esto, la cadena del teorema de los valores extremos cierra sin huecos: $K$ compacto $\to$ $f(K)$ compacto $\to$ cerrado y acotado $\to$ tiene supremo (Cap. 1) y lo contiene (cerrado) $\to$ el máximo se alcanza. La compacidad es el ingrediente que convierte "el conjunto de valores está acotado" en "existe un punto donde se realiza el óptimo".

Conjuntos perfectos y el conjunto de Cantor

Un conjunto es perfecto si es cerrado y no tiene puntos aislados (todo punto suyo es punto límite de él). El ejemplo canónico —y el contraejemplo recurrente de toda la teoría de la medida— es el conjunto de Cantor $C$ : sacá de $[0,1]$ el tercio central abierto $\left(\tfrac13, \tfrac23\right)$ , después los tercios centrales de los dos pedazos que quedan, y así indefinidamente; $C$ es lo que sobrevive a todos los pasos. Tiene cuatro propiedades que no deberían convivir:

Compacto (cerrado y acotado).
Perfecto (los extremos de los intervalos nunca se quitan y se acumulan unos sobre otros: ningún punto queda aislado).
De medida cero: la longitud total removida es $\sum_{n \ge 1} 2^{\,n-1}\,3^{-n} = \tfrac13 \cdot \tfrac{1}{1 - 2/3} = 1$ , así que lo que queda mide $0$ .
Pero incontable: cada punto de $C$ se codifica por sus elecciones izquierda/derecha en cada paso —una sucesión binaria infinita—, y de esas hay incontables (diagonal de Cantor). Mismo cardinal que $\mathbb{R}$ .

Cantor desacopla cardinalidad y medida: es tan grande como $\mathbb{R}$ en número de puntos, pero "invisible" en longitud. Es el primer aviso de que cuántos puntos hay y cuánto miden son preguntas independientes —el puente directo a la integral de Lebesgue.