Lógica: conectivos y cuantificadores

La sintaxis oculta de cada prueba: el "para todo $\varepsilon$ existe $\delta$ " de los límites, el "si y solo si" de los teoremas, el orden $\forall\exists$ que lo cambia todo. Cada definición rigurosa es una frase lógica disfrazada —"continua" es $\forall\varepsilon\,\exists\delta$ ; "definida positiva" es $\forall\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ , $\mathbf{x}^\top A\mathbf{x} > 0$ —. La lógica es la gramática; las matemáticas, las oraciones.

Proposiciones y conectivos

Una proposición tiene un valor de verdad definido (verdadera o falsa). Los conectivos las combinan: $\neg P$ (no), $P \wedge Q$ (y), $P \vee Q$ (o inclusivo), $P \Rightarrow Q$ (si… entonces), $P \iff Q$ (si y solo si). Tocá los valores y mirá la tabla:

Tabla de verdad de los conectivos — interactivo

P	Q	¬P	P ∧ Q	P ∨ Q	P ⟹ Q	P ⟺ Q
V	V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F
F	F	V	F	F	V	V

Tocá P y Q para moverte por las filas. Fijate en P ⟹ Q: es falsa una sola vez —cuando P es verdadera y Q falsa—. Con P falsa (las dos últimas filas) la implicación es verdadera pase lo que pase con Q: es la verdad vacua, la razón de que "todo elemento del conjunto vacío cumple P" sea siempre cierto.

La verdad vacua. Cuando $P$ es falsa, $P \Rightarrow Q$ es verdadera sin importar $Q$ . Desconcierta al principio, pero es clave: "todo elemento del conjunto vacío cumple $P$ " es siempre verdadero, porque la premisa nunca se cumple y la implicación nunca se viola. La implicación solo es falsa cuando $P$ es verdadera y $Q$ falsa.

La implicación y sus variantes

Casi todo teorema es $P \Rightarrow Q$ (hipótesis ⟹ tesis). Distinguir sus variantes evita el error lógico más común:

Nombre	Forma	¿Equivale a $P \Rightarrow Q$ ?
Directa	$P \Rightarrow Q$	—
Recíproca	$Q \Rightarrow P$	NO (el error clásico)
Contrarrecíproca	$\neg Q \Rightarrow \neg P$	SÍ (siempre)
Inversa	$\neg P \Rightarrow \neg Q$	NO

La contrarrecíproca es tu mejor amiga: $P \Rightarrow Q$ y $\neg Q \Rightarrow \neg P$ son idénticas, y a veces probar la segunda es mucho más fácil (es la base de la prueba por contrarrecíproco). "Todo cuadrado es rectángulo" no dice "todo rectángulo es cuadrado": confundir un teorema con su recíproca es el desliz más frecuente —y por eso el si y solo si es tan fuerte, afirma las dos direcciones y exige probar ambas.

Predicados y cuantificadores

Un predicado $P(x)$ tiene una variable libre y no tiene valor de verdad hasta cuantificarlo. Los cuantificadores lo cierran:

$\forall x\,P(x)$ — "para todo $x$ ": una sola excepción la vuelve falsa.
$\exists x\,P(x)$ — "existe $x$ ": un solo testigo la vuelve verdadera.

Y eso dicta la estrategia de la prueba: para probar $\forall x\,P(x)$ tomás un $x$ arbitrario ("sea $x$ cualquiera…") y no usás nada particular de él; para refutarlo, basta un contraejemplo. Para probar $\exists x\,P(x)$ exhibís un testigo concreto; para refutarlo, mostrás que ninguno sirve.

El orden importa: $\forall\exists$ vs. $\exists\forall$

Acá está lo que separa entender la lógica de recitarla. Cambiar el orden cambia el significado:

\forall x\,\exists y\,P(x,y) \quad\not\equiv\quad \exists y\,\forall x\,P(x,y).

Con $P(x,y)$ = " $y$ es la madre de $x$ ": $\forall x\,\exists y$ es "todo $x$ tiene madre" ( $y$ depende de $x$ —cada quien la suya—, verdadero); $\exists y\,\forall x$ es "existe alguien que es madre de todos" (un solo $y$ universal, falso). En $\forall\exists$ elegís $y$ después de ver $x$ (se adapta); en $\exists\forall$ fijás $y$ primero y debe servir para todo $x$ —mucho más fuerte—.

Es el corazón de ε-δ. La continuidad es $\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0\ \forall x\,(\lvert x - a\rvert < \delta \Rightarrow \lvert f(x) - L\rvert < \varepsilon)$ . Primero te dan $\varepsilon$ (el reto), después producís $\delta$ —que puede depender de $\varepsilon$ (por eso escribís " $\delta = \varepsilon/2$ ")—. Si el orden fuera $\exists\delta\,\forall\varepsilon$ , necesitarías un $\delta$ universal: eso es continuidad uniforme, una propiedad mucho más fuerte. El orden de los cuantificadores es, literalmente, la diferencia entre continuidad y continuidad uniforme.

Negación: intercambia cuantificadores

Para probar por contradicción —o entender qué significa que algo falle— hay que negar. La regla es mecánica: negar intercambia $\forall \leftrightarrow \exists$ y niega el interior.

\neg(\forall x\,P(x)) \equiv \exists x\,\neg P(x), \qquad \neg(\exists x\,P(x)) \equiv \forall x\,\neg P(x).

Para conectivos, De Morgan: $\neg(P \wedge Q) \equiv \neg P \vee \neg Q$ y $\neg(P \vee Q) \equiv \neg P \wedge \neg Q$ . Negando la continuidad (cada cuantificador se voltea, y $\neg(A \Rightarrow B) \equiv A \wedge \neg B$ ):

\exists\varepsilon\,\forall\delta\,\exists x\,\bigl(\lvert x - a\rvert < \delta \ \wedge\ \lvert f(x) - L\rvert \ge \varepsilon\bigr),

"hay un $\varepsilon$ malo tal que, para cualquier $\delta$ , existe un $x$ cerca de $a$ cuya imagen se escapa". Así se prueba que algo no es continuo: exhibiendo ese $\varepsilon$ .

Cuantificadores acotados

Casi nunca cuantificás sobre "todo lo que existe", sino sobre un dominio $S$ . Cómo se desempaquetan —y por qué cada uno usa un conectivo distinto—:

\forall x \in S\,P(x) \;\equiv\; \forall x\,(x \in S \Rightarrow P(x)), \qquad \exists x \in S\,P(x) \;\equiv\; \exists x\,(x \in S \wedge P(x)).

El $\forall$ usa implicación (para los $x \notin S$ se cumple vacuamente, sin afirmar nada de ellos); el $\exists$ usa conjunción (querés un testigo que de verdad esté en $S$ y cumpla $P$ ). Al negar, el dominio sobrevive y se niega la conclusión: la negación de " $A$ es definida positiva" ( $\forall \mathbf{x} \neq \mathbf{0},\ \mathbf{x}^\top A\mathbf{x} > 0$ ) es $\exists \mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ con $\mathbf{x}^\top A\mathbf{x} \le 0$ —el vector testigo que se exhibe para probar que no es PD—.

Leer definiciones como lógica

El hábito que vale oro: traducir cada definición a su esqueleto lógico y mirar el cuantificador más externo —él dicta el arranque de la prueba—.

Definición	Forma lógica
Acotado superiormente	$\exists M\,\forall x \in S\,(x \le M)$
$f$ continua en $a$	$\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0\,\forall x\,(\lvert x-a\rvert<\delta \Rightarrow \lvert f(x)-f(a)\rvert<\varepsilon)$
$\{v_i\}$ independiente	$\forall c\,(\sum c_i v_i = 0 \Rightarrow \forall i\,(c_i = 0))$
$A$ definida positiva	$\forall \mathbf{x}\,(\mathbf{x} \neq \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{x}^\top A\mathbf{x} > 0)$
$a_n \to L$	$\forall\varepsilon>0\,\exists N\,\forall n\,(n \ge N \Rightarrow \lvert a_n - L\rvert < \varepsilon)$

Si empieza con $\forall$ , la prueba arranca "sea [algo] arbitrario"; si con $\exists$ , "propongo [testigo]"; si es $\forall\varepsilon\,\exists\delta$ , vas a construir $\delta$ en función de $\varepsilon$ . La estructura lógica te da el esqueleto de la demostración antes de pensar en el contenido.

Recall activo

Escribí la contrarrecíproca de "si $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ entonces $A\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ ".
Negá: $\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0\,(\lvert x-a\rvert<\delta \Rightarrow \lvert f(x)-L\rvert<\varepsilon)$ .
¿Cuál es más fuerte, $\forall x\,\exists y$ o $\exists y\,\forall x$ ?
Desempaquetá y negá " $\exists M\,\forall x \in S\,(x \le M)$ " (acotado superiormente).

Soluciones: (1) "si $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ entonces $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ "; (2) $\exists\varepsilon>0\,\forall\delta>0\,(\lvert x-a\rvert<\delta \wedge \lvert f(x)-L\rvert\ge\varepsilon)$ ; (3) $\exists y\,\forall x$ (un $y$ universal); (4) negación: $\forall M\,\exists x \in S\,(x > M)$ —para toda cota hay un elemento que la supera, o sea no acotado—.

Con esta gramática, las definiciones dejan de ser fórmulas a memorizar: son frases que se leen, y cuyo esqueleto de prueba se ve de inmediato.