Algunas funciones especiales

El Capítulo 8 cosecha lo sembrado: usa la convergencia uniforme del Cap. 7 para construir rigurosamente las funciones que siempre se dan por sentadas. La receta es siempre la misma: definir por serie, usar la uniformidad para derivar término a término, cosechar las propiedades.

Series de potencias

Una serie de potencias es un "polinomio infinito" $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ . Converge para los $x$ cercanos a cero y diverge para los lejanos: existe un radio de convergencia $R \ge 0$ tal que la serie converge para $\lvert x\rvert < R$ y diverge para $\lvert x\rvert > R$ (en el borde, caso por caso). Lo da

\frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}, \qquad \text{o más fácil} \qquad R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \text{ si existe.}

Para la geométrica $\sum x^n$ ( $a_n = 1$ ) sale $R = 1$ , y ahí $\sum x^n = \frac{1}{1-x}$ —que explota justo en $x=1$ . Dentro de su radio una serie de potencias converge uniformemente, así que hereda todo lo bueno del Cap. 7: es continua, se deriva e integra término a término (con el mismo radio). Se manipula como un polinomio, y la uniformidad es la licencia:

Series de potencias / Taylor — interactivo

4 términos · R = ∞f · suma parcial Sₙ

El factorial en el denominador domestica cualquier x: R = ∞, la serie converge en toda la recta. Subí los términos y la suma parcial abraza a eˣ en un tramo cada vez más ancho. Eso es la serie de Taylor haciéndose la función.

Las expansiones de Taylor son series de potencias —el radio dice hasta dónde vale la linealización— y las funciones generadoras (de momentos, de probabilidades) son series de potencias cuyos coeficientes codifican momentos; derivar término a término es lo que justifica sacarlos.

La función exponencial, desde cero

La definimos por serie y demostramos sus propiedades:

E(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

Radio infinito. Con $a_n = 1/n!$ , la regla del cociente da $R = \lim \frac{1/n!}{1/(n+1)!} = \lim (n+1) = \infty$ . El factorial crece mucho más rápido que $x^n$ y domestica cualquier $\lvert x\rvert$ .

Es su propia derivada. Derivando término a término (legítimo por uniformidad):

E'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n\,x^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = \sum_{m=0}^\infty \frac{x^m}{m!} = E(x).

Suma a producto. $E(x+y) = E(x)\,E(y)$ (producto de series + binomio). Definiendo $e = E(1) \approx 2.718$ , esa propiedad fuerza $E(x) = e^x$ : la notación de potencia es consecuencia, no punto de partida.

Paso	Resultado	Cómo
Definir	$E(x) = \sum x^n/n!$	serie de potencias
Dominio	$R = \infty$	cociente (Cap. 3)
Derivada	$E' = E$	término a término (Cap. 7)
Álgebra	$E(x+y) = E(x)E(y)$	producto de series
Identidad	$E(x) = e^x$	propiedad de suma

La exponencial, Taylor y el triángulo de Pascal

Hay un segundo camino a $e^x$ —el del interés compuesto— que revela de dónde sale el factorial. Capitalizando $n$ veces:

e^x = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}.

Expandí $(1 + x/n)^n$ con el binomio de Newton, cuyos coeficientes son las filas del triángulo de Pascal $\binom{n}{k}$ :

\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{x^k}{n^k}, \qquad \binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}.

Mirá el coeficiente de $x^k$ cuando $n \to \infty$ :

\frac{1}{n^k}\binom{n}{k} = \frac{1}{k!}\cdot\underbrace{\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}}_{\to\,1} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; \frac{1}{k!}.

¡Ahí está! Los coeficientes de Pascal, divididos por $n^k$ , se vuelven $1/k!$ en el límite. El triángulo de Pascal y los factoriales de la serie de Taylor son la misma cosa vista a dos distancias. Las filas de $\binom{n}{k}$ :

$(1+x)^n$	$k{=}0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$n=1$	1	1
$n=2$	1	2	1
$n=3$	1	3	3	1
$n=4$	1	4	6	4	1

Dividí la fila $n$ por $n^k$ y hacé $n \to \infty$ : cada coeficiente binomial colapsa a $\frac{1}{k!}$ , es decir $1,\, 1,\, \tfrac12,\, \tfrac16,\, \tfrac1{24},\dots$ — exactamente los denominadores factoriales de la serie de $e^x$ .

Y esa serie $\sum x^n/n!$ es la serie de Taylor de $e^x$ en $0$ : como $E^{(k)} = E$ y $E(0) = 1$ , todos los coeficientes de Taylor $\frac{E^{(k)}(0)}{k!}$ valen $\frac{1}{k!}$ . Por eso $e^x$ es su propia expansión. En el interactivo de arriba (seleccioná $e^x$ ) ves esos Taylor parciales abrazar la curva.

$E' = E$ es por qué la exponencial resuelve las ecuaciones diferenciales lineales; $e^{x+y} = e^x e^y$ es por qué los logaritmos convierten productos en sumas. Y aparece en todos lados: la densidad normal $e^{-x^2/2}$ , el descuento $e^{-rt}$ , la familia exponencial.

Logaritmo

El logaritmo es la inversa de la exponencial: si $y = e^x$ , entonces $x = \ln y$ . Existe y es continua porque $E$ es estrictamente creciente ( $E' = E > 0$ ), y está definida solo para $y > 0$ (la exponencial solo toma valores positivos). Por inversión:

\ln(ab) = \ln a + \ln b \quad (\text{espejo de } e^{x+y} = e^x e^y), \qquad \ln'(x) = \frac{1}{x}, \qquad \ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}.

Esa última —el área bajo la hipérbola— es donde el Cap. 6 y este se tocan. La log-verosimilitud convierte $\prod p(x_i)$ en $\sum \ln p(x_i)$ —toda la estimación por máxima verosimilitud vive de productos→sumas— y la derivada $1/x$ aparece en el score y en la información de Fisher.

Seno, coseno y la fórmula de Euler

Se definen por series (no por triángulos), con factoriales en el denominador, así que también $R = \infty$ :

\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}, \qquad \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},

y derivando término a término, $\sin' = \cos$ , $\cos' = -\sin$ . La serie de $e^x$ tiene todas las potencias; $\cos$ las pares; $\sin$ las impares. Sustituyendo $x \to ix$ , las potencias de $i$ alternan signo y separan la serie en parte real (pares → $\cos$ ) e imaginaria (impares → $\sin$ ):

e^{ix} = \cos x + i\,\sin x.

Exponencial y trigonometría son lo mismo en el plano complejo: la real crece, la imaginaria gira. Es la base del análisis de Fourier.

Series de Fourier

Una serie de potencias suma potencias de $x$ ; una serie de Fourier suma senos y cosenos de distintas frecuencias. Cualquier señal periódica razonable se descompone en oscilaciones puras:

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \bigl(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\bigr), \qquad a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.

Funciona por ortogonalidad: $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)\,dx = 0$ si $n \neq m$ . La integral contra $\cos(nx)$ filtra la frecuencia $n$ y cancela el resto —un sintonizador de radio. La idea profunda: senos y cosenos son una base ortogonal del espacio de funciones, igual que $\hat x, \hat y, \hat z$ lo son de $\mathbb{R}^3$ ; calcular un coeficiente de Fourier es una proyección ortogonal en $L^2$ , la misma que sostiene la esperanza condicional, los mínimos cuadrados y el filtro de Kalman.

Serie de Fourier de una onda cuadrada — interactivo(4/π) Σ sin((2j−1)x)/(2j−1)

5 armónicosonda cuadrada · suma de Fourier

Sumando senos de frecuencias 1, 3, 5, … reconstruís una onda cuadrada: cada armónico aporta su parte. Pero fijate cerca de los saltos: aparece un sobrepico de ~9 % que no desaparece al agregar armónicos —solo se angosta. Es el fenómeno de Gibbs: la serie converge puntualmente pero no uniformemente en el salto. La sutileza del Cap. 7, en vivo.

La convergencia es delicada en los saltos —el fenómeno de Gibbs, ese sobrepico que no se va— y es exactamente la sutileza puntual/uniforme del Cap. 7.

La función Gamma — el factorial generalizado

El factorial $n!$ solo vale para enteros. La función Gamma lo extiende a todos los números con una curva suave, vía una integral (Cap. 6):

\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt, \qquad \Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x).

La recurrencia tiene la misma estructura que $n! = n\,(n-1)!$ , así que para enteros $\Gamma(n) = (n-1)!$ (el corrimiento $-1$ es convención). Lo poderoso es que $\Gamma$ existe entre los enteros:

La función Gamma Γ(x) — interactivoΓ(x+1) = x·Γ(x)

x = 2.50Γ(2.50) = 1.3293

El factorial solo vive en los enteros; Γ los une con una curva suave: pasa exactamente por Γ(n) = (n−1)! (el corrimiento −1 es convención) y tiene valor entre los enteros — un factorial para 2.5, ½, ν = 6.3. El valor estrella Γ(½) = √π sale de la integral gaussiana, la misma que normaliza la normal. Por eso Γ está en las constantes de Gamma, Beta, χ² y la t de Student.

El valor estrella es $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt{\pi}$ , que sale de la integral gaussiana $\int e^{-t^2}dt = \sqrt{\pi}$ —la misma que normaliza la normal. Por eso $\Gamma$ está en las constantes de normalización de muchas distribuciones: Gamma, Beta ( $B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$ , los priores conjugados), $\chi^2$ , y la $t$ de Student (cuya normalización lleva $\Gamma(\tfrac{\nu+1}{2})/\Gamma(\tfrac{\nu}{2})$ ). Es la pieza que permite grados de libertad continuos como $\nu = 6.3$ , no solo enteros.

Ejercicios

1. Radio de $\sum n\,x^n$ : $\;R = \lim \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = \lim \frac{n}{n+1} = 1.$

2. Radio de $\sum \frac{x^n}{2^n}$ : $\;R = \lim \frac{1/2^n}{1/2^{n+1}} = \lim 2 = 2.$

3. $\Gamma(6) = 5! = 120$ , y por recurrencia $\Gamma(\tfrac32) = \tfrac12\,\Gamma(\tfrac12) = \tfrac{\sqrt\pi}{2}.$

Para resolver vos (respuestas al final):

A. Radio de $\sum \frac{x^n}{3^n}$ . → $R = 3$ .
B. Radio de $\sum \frac{x^n}{n!}$ . → $R = \infty$ (el factorial gana).
C. $\Gamma(4) = 3! = 6$ .
D. $\Gamma(\tfrac52) = \tfrac32\,\Gamma(\tfrac32) = \tfrac32\cdot\tfrac12\,\Gamma(\tfrac12) = \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi}.$
E. $e^x, \cos x, \sin x$ tienen $R = \infty$ porque sus coeficientes llevan un factorial en el denominador, que crece más rápido que cualquier $x^n$ y obliga a la serie a converger en toda la recta.

El arco del capítulo: definir por serie, derivar término a término gracias a la uniformidad, y cosechar. Las funciones "elementales" no eran un punto de partida — eran un teorema esperando ser construido.