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Espacios métricos

Mirá hacia atrás todo lo que hicimos en $\mathbb{R}$: convergencia ($\lvert a_n - L\rvert < \varepsilon$), continuidad, cotas. Todo se apoyaba en una sola cosa: poder medir cuán lejos están dos puntos, $\lvert x - y\rvert$. La pregunta de Fréchet fue: ¿y si eso es lo único que necesitamos? Si abstraemos la distancia a una función con las propiedades mínimas, toda la maquinaria del análisis se muda a un terreno muchísimo más amplio.

Qué es una métrica

Un espacio métrico es un conjunto $X$ con una función de distancia $d : X \times X \to \mathbb{R}$ que cumple, para todos $x, y, z \in X$:

1. No negatividad e identidad: $d(x, y) \ge 0$, y $d(x, y) = 0 \iff x = y$.
2. Simetría: $d(x, y) = d(y, x)$.
3. Desigualdad triangular: $d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$.

Eso es todo. Tres reglas que cualquier noción razonable de "distancia" respeta: no hay distancias negativas, ir de $x$ a $y$ cuesta lo mismo que volver, y el atajo directo nunca es más largo que pasar por un tercer punto. $\mathbb{R}$ con $d(x,y) = \lvert x - y\rvert$ es el ejemplo de toda la vida — pero no el único.

La distancia es una elección

En el plano $\mathbb{R}^2$ hay varias distancias naturales, y cada una reforma la geometría. Para un vector $v = (x, y)$:

La $L^1$ es la del taxista (te movés por cuadras, no en diagonal); la $L^2$ es la euclídea de siempre; la $L^\infty$ es la del rey de ajedrez (un paso en cualquier dirección cuesta lo mismo). Mirá la bola unitaria $\{\, v : \lVert v\rVert \le 1 \,\}$ de cada una — y cómo el mismo vector $(1,1)$ cambia de longitud según la métrica:

Un rombo, un círculo, un cuadrado: la misma idea de "estar a distancia $\le 1$", tres formas distintas. La geometría no es absoluta; depende de cómo decidís medir.

Bolas abiertas

La bola abierta de centro $x$ y radio $r$ es

En $\mathbb{R}$ es un intervalo $(x - r,\, x + r)$; en el plano euclídeo es un disco; con la métrica del taxista es un rombo. Las bolas son los ladrillos de todo lo que sigue: un conjunto es abierto si alrededor de cada uno de sus puntos cabe una bola entera. Sobre esa única definición se levanta la topología.

Convergencia, palabra por palabra igual

Acá se ve la potencia de la abstracción. La convergencia en un espacio métrico es

es decir, $\forall\, \varepsilon > 0 \; \exists\, N \; \forall\, n > N : d(x_n, x) < \varepsilon$. Es exactamente la definición ε-N de las sucesiones, con $d(x_n, x)$ en lugar de $\lvert a_n - L\rvert$. No aprendiste algo nuevo: descubriste que lo que ya sabías nunca dependió de $\mathbb{R}$.

Completitud: el reencuentro con el supremo

Una sucesión es de Cauchy si sus términos se juntan entre sí:

Un espacio métrico es completo si toda sucesión de Cauchy converge dentro del espacio. Y acá vuelve todo a cerrar: $\mathbb{R}$ es completo —es la propiedad del supremo vista desde otro ángulo—, mientras que $\mathbb{Q}$ no lo es. La sucesión $1,\ 1.4,\ 1.41,\ 1.414,\dots$ es de Cauchy, pero su límite $\sqrt{2}$ no vive en $\mathbb{Q}$: se escapa por el mismo hueco que ya conocemos.

Completar $\mathbb{Q}$ —agregarle los límites de todas sus sucesiones de Cauchy— es otra forma de construir $\mathbb{R}$, equivalente a exigir la propiedad del supremo. Dos caminos, el mismo destino.

Los espacios métricos son el lenguaje donde el análisis se vuelve adulto: $\mathbb{R}^n$, espacios de funciones, sucesiones de señales, todo encaja. La distancia cambia; los teoremas, sorprendentemente, no.