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De los conjuntos ordenados a los números reales

Usamos los números reales todos los días, pero ¿qué es un número real? La respuesta honesta no es "un número con coma": es el final de una cadena de estructuras, cada una agregando exactamente una propiedad. La pregunta que organiza todo: ¿por qué $\mathbb{Q}$ no alcanza para hacer análisis? Porque tiene agujeros —sucesiones que "quieren" converger pero cuyo límite no es racional—. La torre que construimos es:

Lo único nuevo que se le agrega a $\mathbb{Q}$ es completitud, y de esa sola propiedad cuelga todo el análisis posterior: límites, continuidad, integrales.

1. Orden, cotas y el supremo

Un orden sobre un conjunto $S$ es una relación $<$ con dos propiedades: tricotomía (para todo $x, y$ vale exactamente una de $x < y$, $x = y$, $y < x$) y transitividad ($x < y$ y $y < z \Rightarrow x < z$). Escribimos $x \le y$ por "$x < y$ o $x = y$".

La tricotomía es más fuerte de lo que parece: prohíbe que dos elementos sean incomparables. En un orden parcial (como la inclusión $\subseteq$ entre conjuntos) hay pares incomparables: $\{1\}$ y $\{2\}$ no cumplen ni $\subseteq$ ni $\supseteq$. El orden de Rudin es total —todo par se compara—, y eso importa porque el supremo se define sobre órdenes totales.

Dado $E \subseteq S$: $\beta$ es cota superior de $E$ si $x \le \beta$ para todo $x \in E$. El supremo $\alpha = \sup E$ es la menor cota superior: (i) es cota superior; (ii) ninguna $\gamma < \alpha$ lo es —operativamente, para todo $\gamma < \alpha$ existe $x \in E$ con $x > \gamma$. El ínfimo $\inf E$ es, dualmente, la mayor cota inferior.

La sutileza que hay que internalizar: el supremo no tiene por qué pertenecer a $E$. Cuando sí pertenece, se llama máximo. Para $E = (0,1)$ se tiene $\sup E = 1 \notin E$ y no hay máximo: para cualquier $x < 1$ siempre hay un punto mayor, $\tfrac{x+1}{2} \in E$. Esa capacidad de "apuntar a un borde sin tocarlo" es lo que vuelve al supremo la herramienta correcta del análisis. Jugá con los extremos abierto/cerrado:

2. Cuerpos y cuerpos ordenados

Un cuerpo es un conjunto con dos operaciones, $+$ y $\cdot$, ambas asociativas y conmutativas, con neutros $0$ y $1 \neq 0$, opuesto $-x$ para cada elemento, inverso $x^{-1}$ para cada $x \neq 0$, y la distributiva $x(y+z) = xy + xz$. $\mathbb{Q}$ es un cuerpo; $\mathbb{Z}$ no (a $2$ le falta su inverso $\tfrac12$).

Un cuerpo ordenado es un cuerpo con un orden compatible con las operaciones:

De estos dos axiomas salen las reglas de signo. La más importante: todo cuadrado no nulo es positivo.

$x \neq 0 \Rightarrow x^2 > 0$ (y en particular $1 > 0$). Si $x > 0$, entonces $x \cdot x > 0$ por el axioma del producto. Si $x < 0$, entonces $-x > 0$, y $(-x)(-x) > 0$; pero $(-x)(-x) = x^2$, así que $x^2 > 0$. Como $1 = 1^2$ y $1 \neq 0$, resulta $1 > 0$. $\;\blacksquare$

$\mathbb{Q}$ es un cuerpo ordenado: tiene operaciones, tiene orden, y conviven. Parecería que ya tenemos todo para hacer análisis. No.

3. El hueco de ℚ y la propiedad del supremo

Los racionales se ven densos y completos, pero tienen agujeros invisibles. El conjunto de racionales positivos con cuadrado menor que $2$ sube acercándose a un tope —$\sqrt2$— que no es racional. El conjunto quiere un supremo y $\mathbb{Q}$ no se lo puede dar:

Teorema. Sean $A = \{p \in \mathbb{Q} : p > 0,\ p^2 < 2\}$ y $B = \{p \in \mathbb{Q} : p > 0,\ p^2 > 2\}$. Entonces $A$ está acotado superiormente (todo elemento de $B$ es cota) pero no tiene supremo en $\mathbb{Q}$: $A$ no tiene máximo y $B$ no tiene mínimo.

Demostración. La clave es una construcción explícita. Para $p \in \mathbb{Q}$, $p > 0$, definimos

Si $p \in A$ ($p^2 < 2$): entonces $q - p = -\tfrac{p^2-2}{p+2} > 0$, así que $q > p$; y $q^2 - 2 < 0$, así que $q \in A$. Hallamos un elemento de $A$ mayor que $p$ —ninguno es máximo. Si $p \in B$ ($p^2 > 2$): ahora $q < p$ y $q^2 > 2$, así que $q \in B$ y es menor —$B$ no tiene mínimo. Una cota superior de $A$ tendría que vivir en $B$, pero $B$ no tiene mínimo: no hay menor cota superior. $\;\blacksquare$

El "truco" $q$ no es magia: es un paso del método de Newton sobre $f(x) = x^2 - 2$, usando $p+2$ en lugar de la derivada $2p$ para que $q$ quede racional. El hueco de $\mathbb{Q}$ es justo el punto al que Newton converge y que $\mathbb{Q}$ no contiene.

Buscá ese borde que se escapa:

Que $\sqrt2$ no sea racional cierra el argumento:

$\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. Si fuera $\sqrt{2} = p/q$ irreducible, entonces $p^2 = 2q^2$, así que $p^2$ es par y $p$ también; con $p = 2m$ queda $2m^2 = q^2$, luego $q$ también es par —contradiciendo que la fracción era irreducible. $\;\blacksquare$

La cura es agregar un solo axioma:

Propiedad del supremo (completitud). Un conjunto ordenado tiene la propiedad del supremo si todo subconjunto no vacío y acotado superiormente tiene supremo en el conjunto. $\mathbb{Q}$ no la tiene; es la propiedad que define a los reales.

Existencia y unicidad de $\mathbb{R}$. Existe un cuerpo ordenado $\mathbb{R}$ con la propiedad del supremo que contiene a $\mathbb{Q}$, y es único salvo isomorfismo.

La construcción de Rudin son los cortes de Dedekind: un real es, por definición, un subconjunto $\alpha \subset \mathbb{Q}$ no vacío, distinto de $\mathbb{Q}$, cerrado hacia abajo ($p \in \alpha$ y $q < p \Rightarrow q \in \alpha$) y sin máximo. El corte es "todos los racionales a la izquierda" del número que representa; $\sqrt2$ es el corte $\{p \in \mathbb{Q} : p < 0 \ \text{o}\ p^2 < 2\}$ —el hueco se rellena definiendo el real como el agujero mismo. Lo elegante: el supremo de una familia de cortes es simplemente su unión, así que la propiedad del supremo se vuelve casi tautológica.

Y el ínfimo viene gratis:

Propiedad del ínfimo. En $\mathbb{R}$, todo conjunto no vacío y acotado inferiormente tiene ínfimo. Prueba: si $L$ es el conjunto de cotas inferiores de $E$, entonces $L$ es no vacío y acotado superiormente (por cualquier elemento de $E$), así que $\alpha = \sup L$ existe, y resulta $\alpha = \inf E$. $\;\blacksquare$

4. Consecuencias de la completitud

¿Qué compramos con la propiedad del supremo? Tres hechos que parecen no relacionados con "topes de conjuntos" —y que sostienen todo el andamiaje del análisis.

Propiedad arquimediana. Para $x, y \in \mathbb{R}$ con $x > 0$, existe $n \in \mathbb{N}$ con $nx > y$.

Demostración. Si no, $y$ sería cota superior de $A = \{nx : n \in \mathbb{N}\}$. Por completitud existe $\alpha = \sup A$. Como $x > 0$, $\alpha - x < \alpha$ no es cota superior, así que hay $mx > \alpha - x$; pero entonces $(m+1)x > \alpha$ con $(m+1)x \in A$, contradiciendo que $\alpha$ es cota. $\;\blacksquare$

Sin completitud esto falla: hay cuerpos ordenados no arquimedianos con infinitesimales (los hiperreales), donde existe $x > 0$ tan chico que $nx < 1$ para todo $n$. Lo que lo prohíbe en $\mathbb{R}$ es exactamente el supremo.

Densidad de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$. Si $x < y$, existe $p \in \mathbb{Q}$ con $x < p < y$.

Demostración. Como $y - x > 0$, por Arquímedes hay $n$ con $n(y - x) > 1$, o sea $ny - nx > 1$: entre $nx$ y $ny$ cabe un entero. Tomando el menor entero $m$ con $m > nx$, se cumple $m - 1 \le nx < m$, y como $m \le nx + 1 < ny$ queda $nx < m < ny$. Dividiendo por $n$: $x < \tfrac{m}{n} < y$. $\;\blacksquare$

Existencia de raíces $n$-ésimas. Para $x > 0$ y $n \in \mathbb{N}$, existe un único $y > 0$ con $y^n = x$.

Demostración (idea). La unicidad es por monotonía ($0 < y_1 < y_2 \Rightarrow y_1^n < y_2^n$). Para la existencia, $y = \sup\{t > 0 : t^n < x\}$ —el conjunto es no vacío y acotado—; se descartan $y^n < x$ e $y^n > x$ ajustando $y$ un poquito, igual que en el teorema del hueco. El supremo es, otra vez, el motor. $\;\blacksquare$

Este teorema es la razón de ser de $\mathbb{R}$ en acción: $\sqrt2$, que no existía en $\mathbb{Q}$, ahora existe como $\sup\{t > 0 : t^2 < 2\}$. El hueco quedó tapado.

5. El cuerpo complejo y $\mathbb{R}^k$

$\mathbb{C}$ es el conjunto de pares $(a, b)$ de reales con suma componente a componente y producto $(a,b)(c,d) = (ac - bd,\ ad + bc)$. Con $i = (0,1)$ se obtiene $i^2 = -1$, y todo $(a,b)$ se escribe $a + bi$. Es un cuerpo —pero a diferencia de $\mathbb{R}$, no se puede ordenar:

No existe orden que haga de $\mathbb{C}$ un cuerpo ordenado. En un cuerpo ordenado todo cuadrado no nulo es positivo, así que $1 = 1^2 > 0$ y $i^2 > 0$; pero $i^2 = -1$, luego $-1 > 0$, o sea $1 < 0$. Tener $1 > 0$ y $1 < 0$ viola la tricotomía. $\;\blacksquare$

En $\mathbb{R}^k$, con producto interno $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \sum x_i y_i$ y norma $|\mathbf{x}| = (\sum x_i^2)^{1/2}$, la herramienta central es Cauchy–Schwarz:

Demostración. Con $A = \sum|a_j|^2$, $B = \sum|b_j|^2$, $C = \sum a_j\overline{b_j}$ (y $B > 0$): partiendo de que una suma de módulos al cuadrado es $\ge 0$,

y como $B > 0$ queda $|C|^2 \le AB$. $\;\blacksquare$ De ahí sale la desigualdad triangular $|\mathbf{x} + \mathbf{y}| \le |\mathbf{x}| + |\mathbf{y}|$ elevando al cuadrado.

La elección $B a_j - C b_j$ no es arbitraria: es el residuo de proyectar $a$ sobre $b$. Cauchy–Schwarz es $|\langle a, b\rangle| \le \|a\|\,\|b\|$, con igualdad solo si son colineales —la misma geometría de proyección ortogonal que reaparece en $L^2$.

Cierre

Una recta sin agujeros, donde $\mathbb{Q}$ está por todas partes pero no alcanza a cubrirla, y donde la completitud garantiza supremos, raíces y aproximaciones. Ese terreno es sobre el que se construye todo lo que sigue —empezando por las sucesiones y su convergencia, que es la propiedad del supremo puesta en movimiento.