De los conjuntos ordenados a los números reales

Usamos los números reales todos los días, pero ¿qué es un número real? La respuesta honesta no es "un número con coma": es el final de una cadena de estructuras, cada una agregando exactamente una propiedad. El plan:

\textsf{conjunto ordenado} \;\to\; \textsf{cuerpo} \;\to\; \textsf{cuerpo ordenado}\;(\mathbb{Q}) \;\to\; \textsf{cuerpo real} = \textsf{ordenado} + \textsf{supremo}.

Vamos eslabón por eslabón.

1. Conjuntos ordenados

Un orden sobre un conjunto es una relación $\le$ que cumple, para todos $a, b, c$ :

Totalidad: $a \le b$ o $b \le a$ (cualesquiera dos elementos se comparan).
Antisimetría: si $a \le b$ y $b \le a$ , entonces $a = b$ .
Transitividad: si $a \le b$ y $b \le c$ , entonces $a \le c$ .

Con un orden aparece el vocabulario clave. Dado un conjunto $S$ :

$u$ es cota superior de $S$ si $x \le u$ para todo $x \in S$ .
El supremo $\sup S$ es la menor de las cotas superiores.
Simétricamente, cota inferior e ínfimo $\inf S$ (la mayor cota inferior).

La sutileza que hay que internalizar: el supremo no tiene por qué pertenecer a $S$ . Cuando sí pertenece, se llama máximo. Jugá con los extremos abierto/ cerrado y miralo:

Cotas, supremo e ínfimo

S = [2, 5)

mínimo: 2

el ínfimo pertenece a S

máximo: no existe

el supremo 5 ∉ S

El supremo y el ínfimo siempre valen 2 y 5, estén o no en S. El máximo y el mínimo solo existen cuando ese extremo pertenece al conjunto. Supremo ≠ máximo: esa distinción es la que hace falta para definir los reales.

El supremo siempre es 5; el máximo solo existe si 5 está adentro. Esta diferencia —sup vs. máx— parece un tecnicismo, pero es justo la grieta por donde entran los reales.

2. Cuerpos

Un cuerpo es un conjunto con dos operaciones, $+$ y $\cdot$ , que se comportan como esperás: ambas son asociativas y conmutativas, hay neutros $0$ y $1$ , todo elemento tiene opuesto $-a$ , todo elemento no nulo tiene inverso $a^{-1}$ , y vale la distributiva $a(b+c) = ab + ac$ .

$\mathbb{Q}$ es un cuerpo: podés sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) sin salirte de los racionales. $\mathbb{Z}$ no lo es: a $2$ le falta su inverso $\tfrac{1}{2}$ .

3. Cuerpos ordenados

Un cuerpo ordenado tiene un orden compatible con las operaciones:

a \le b \;\Rightarrow\; a + c \le b + c, \qquad\quad a \ge 0 \;\text{y}\; b \ge 0 \;\Rightarrow\; ab \ge 0.

$\mathbb{Q}$ es un cuerpo ordenado. Tiene operaciones, tiene orden, y los dos conviven. Parecería que ya tenemos todo lo necesario para hacer análisis. No.

4. El problema: ℚ está lleno de agujeros

Mirá este conjunto de racionales:

A = \{\, x \in \mathbb{Q} : x > 0 \;\text{y}\; x^2 < 2 \,\}.

$A$ no es vacío ( $1 \in A$ ) y está acotado superiormente (por ejemplo, $2$ es cota superior). En un mundo decente debería tener supremo. Buscalo:

El hueco de ℚ en √2 — interactivoA = { x ∈ ℚ : x > 0, x² < 2 }

2 decimaleshueco = 10⁻2 = 1e-2

1.41² = 1.988100

racional en A (cuadrado < 2)

1.42² = 2.016400

cota superior (cuadrado > 2)

Por más decimales que agregues, siempre hay un racional con cuadrado menor que 2 y otro con cuadrado mayor — pero ninguno cae justo en el borde. Ese borde es √2 ≈ 1.41421356…, que no es racional. En ℚ el conjunto de cotas superiores de A no tiene mínimo: A no tiene supremo en ℚ. Los números reales son, precisamente, lo que se obtiene al rellenar todos estos huecos.

Por más que afines, encontrás racionales con cuadrado apenas menor que $2$ y otros con cuadrado apenas mayor, pero el borde exacto se escapa. Ese borde es $\sqrt{2}$ , y no es racional:

$\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ . Si fuera $\sqrt{2} = p/q$ en forma irreducible, entonces $p^2 = 2q^2$ , así que $p^2$ es par y $p$ también. Escribiendo $p = 2m$ queda $2m^2 = q^2$ , con lo cual $q$ también es par. Pero $p$ y $q$ pares contradice que la fracción fuera irreducible. ∎

La consecuencia es grave: en $\mathbb{Q}$ , el conjunto de cotas superiores de $A$ no tiene mínimo. $A$ está acotado pero no tiene supremo en $\mathbb{Q}$ . El cuerpo ordenado tiene un agujero.

5. El cuerpo real

Tapar ese agujero —y todos los demás— es agregar un solo axioma:

Propiedad del supremo (completitud). Todo subconjunto $S \subseteq \mathbb{R}$ no vacío y acotado superiormente tiene supremo $\sup S \in \mathbb{R}$ .

Con eso queda definido el protagonista:

\mathbb{R} = \textsf{cuerpo ordenado completo}.

Y es el único: cualquier cuerpo ordenado con la propiedad del supremo es, en esencia, $\mathbb{R}$ . Ahora sí, $A$ tiene supremo — $\sup A = \sqrt{2}$ — y la ecuación $x^2 = 2$ tiene solución. La completitud es lo que vuelve legítimos los límites, las integrales y todo lo que viene después.

6. Reales, racionales e irracionales

Dentro de $\mathbb{R}$ conviven dos mundos:

Los racionales $\mathbb{Q}$ : cocientes $p/q$ con $q \neq 0$ .
Los irracionales $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ : lo que queda, los números que llenan los huecos. $\sqrt{2}$ , $e$ , $\pi$ viven acá.

Aunque los irracionales sean "los que faltaban", $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ : entre dos reales cualesquiera siempre hay un racional,

\forall\, a < b \;\; \exists\, q \in \mathbb{Q} : \; a < q < b.

Es la imagen final: una recta sin agujeros, donde los racionales están por todas partes pero no alcanzan a cubrirla. Esa recta completa es el terreno sobre el que se construye todo el análisis — el siguiente paso natural son las sucesiones y su convergencia, que es la propiedad del supremo puesta en movimiento.