← Temas

Leyes de los grandes números y el Teorema Central del Límite

Tomá una sucesión de variables iid $X_1, X_2, \dots$ con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$, y la media muestral $\bar X_n = \frac1n \sum_{i=1}^n X_i$. Dos preguntas, dos teoremas:

• ¿A dónde va $\bar X_n$? → a $\mu$. Es la ley de los grandes números.
• ¿Cómo fluctúa alrededor de $\mu$? → como una gaussiana de escala $1/\sqrt n$. Es el Teorema Central del Límite.

Para enunciarlos con precisión, primero hay que decir en qué sentido converge una sucesión de variables aleatorias —y ahí están casi todas las sutilezas.

Modos de convergencia

No hay un único "→" para variables aleatorias. Hay tres que importan:

La jerarquía (estrictas las implicaciones):

En probabilidad dice que la chance de estar lejos se desvanece; casi seguro dice que la sucesión misma converge, para casi todo $\omega$. La distinción no es pedante: es la diferencia entre la ley débil y la fuerte.

Las herramientas: Markov y Chebyshev

Las dos leyes se apoyan en una sola desigualdad elemental. Vale la pena entenderla de verdad, porque es el motor de todo.

Desigualdad de Markov

La intuición: una variable no negativa no puede poner mucha masa lejos sin inflar su media. Si una fracción importante de $X$ valiera $\ge a$, ese solo pedazo ya aportaría mucho a $\mathbb{E}[X]$. Formalmente, para $X \ge 0$ y $a > 0$:

El primer "$\ge$" es tirar la parte donde $X < a$ (integrando no negativo); el segundo, reemplazar $x$ por su cota inferior $a$ en esa región. Despejando:

Solo usa la media —ninguna otra información—, así que es válida siempre pero típicamente floja.

Desigualdad de Chebyshev

Markov mira colas de variables positivas. Para acotar cuánto se aleja de su media una variable cualquiera, aplicá Markov a $Y = (X - \mu)^2$ (que es $\ge 0$) con umbral $a = \varepsilon^2$. Como el evento $\{(X-\mu)^2 \ge \varepsilon^2\}$ es exactamente $\{|X - \mu| \ge \varepsilon\}$:

Midiendo la distancia en desvíos estándar ($\varepsilon = k\sigma$) queda la forma más reveladora:

A lo sumo $1/k^2$ de la masa está a más de $k$ desvíos de la media —y esto vale para cualquier distribución con varianza finita, sin suponer normalidad—. A $k = 2$: al menos el $75\%$ está dentro de $2\sigma$; a $k = 3$, al menos el $89\%$. Es flojo (la normal mete $95\%$ dentro de $2\sigma$, no apenas $75\%$), pero su fuerza es que es libre de distribución. Jugá con la cota y mirá cuánto sobra:

Esa holgura no importa para lo que viene: alcanza y sobra para demostrar la ley débil en tres líneas.

La ley débil (WLLN)

$\bar X_n \xrightarrow{\;p\;} \mu$: para todo $\varepsilon$, $\mathbb{P}(|\bar X_n - \mu| \ge \varepsilon) \to 0$.

Demostración (con varianza finita). La media muestral tiene $\mathbb{E}[\bar X_n] = \mu$ y, por independencia, $\operatorname{Var}(\bar X_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$. Chebyshev da

Tres líneas. La varianza de la media se encoge como $1/n$, y eso aplasta la probabilidad de desviarse.

La ley fuerte de Kolmogorov (SLLN)

La ley débil deja una puerta abierta: que $\bar X_n$ se acerque "casi siempre" pero ocasionalmente pegue saltos para siempre. Kolmogorov la cierra:

Ley fuerte (Kolmogorov). Si $X_1, X_2, \dots$ son iid con $\mathbb{E}|X_1| < \infty$, entonces $\bar X_n \xrightarrow{\;\text{c.s.}\;} \mu$.

Notá la hipótesis: basta media finita, no hace falta varianza. Y la conclusión es mucho más fuerte: para casi toda realización $\omega$, la trayectoria $\bar X_n(\omega)$ converge a $\mu$. Mirá una trayectoria asentándose, dentro del embudo $\mu \pm 2\sigma/\sqrt n$:

La maquinaria detrás es fina —la desigualdad maximal de Kolmogorov, el teorema de las tres series y la ley 0-1 (todo evento de cola tiene probabilidad 0 o 1)—. El espíritu: controlar no un término sino el supremo de las colas, lo justo para saltar de "la probabilidad tiende a 0" a "la sucesión converge con probabilidad 1".

El Teorema Central del Límite

La ley de los grandes números dice a dónde va la media; el TCL dice cómo llega. Reescalando la desviación por $\sqrt n$:

$\frac{\bar X_n - \mu}{\sigma/\sqrt n} = \frac{\sqrt n\,(\bar X_n - \mu)}{\sigma} \xrightarrow{\;d\;} N(0,1).$

Lo asombroso es la universalidad: no importa la forma de la fuente —sesgada, discreta, bimodal—, las medias estandarizadas convergen a la misma campana. Subí $n$ y miralo colapsar:

Bosquejo de la prueba (funciones características). La función característica $\varphi(t) = \mathbb{E}[e^{itX}]$ determina la ley y convierte sumas en productos. Para $Z_n = \frac{1}{\sigma\sqrt n}\sum (X_i - \mu)$, la independencia da $\varphi_{Z_n}(t) = \bigl[\varphi_{(X-\mu)/\sigma}\!\left(t/\sqrt n\right)\bigr]^n$. Expandiendo a segundo orden (media $0$, varianza $1$): $\varphi(s) = 1 - \tfrac{s^2}{2} + o(s^2)$, así que

que es la función característica de la $N(0,1)$. Por el teorema de continuidad de Lévy, la convergencia de las características implica convergencia en distribución. $\;\blacksquare$

La lectura conjunta

Los dos teoremas, juntos, describen la media muestral por completo:

La LLN te da consistencia (el estimador acierta el blanco); el TCL te da la forma y el tamaño del error alrededor del blanco.

Por qué esto está en el corazón de la estadística

• Consistencia de estimadores: que $\hat\theta_n \to \theta$ es, en el fondo, una ley de los grandes números.
• Intervalos de confianza: $\hat\theta \pm z\,\dfrac{\hat\sigma}{\sqrt n}$ sale directo del TCL —la normalidad asintótica es lo que justifica el $\pm 1.96$.
• Monte Carlo: la LLN dice que el promedio de simulaciones converge al valor buscado; el TCL te da las barras de error $\sigma/\sqrt n$. Por eso para ganar un dígito de precisión hacés falta $100\times$ más muestras.
• El $\sqrt n$ no es casualidad: es la tasa universal de la estadística, y sale de que la varianza de un promedio cae como $1/n$.

Con esto en la mano, ya podemos hablar en serio de estimadores y sus propiedades: el siguiente paso de la inferencia.