Sumatorias y series

La notación $\sum$ es solo taquigrafía — $\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ —, pero manipularla con soltura es una destreza propia. Casi todo lo que sigue (esperanzas, log-verosimilitudes, expansiones) son sumas, y conviene moverlas sin miedo.

Propiedades y cambio de índice

El operador $\sum$ es lineal: respeta sumas y saca constantes.

\sum_{k} (c\,a_k) = c \sum_k a_k, \qquad \sum_k (a_k + b_k) = \sum_k a_k + \sum_k b_k, \qquad \sum_{k=1}^{n} c = nc.

El índice es mudo: podés renombrarlo o desplazarlo sin cambiar la suma, mientras ajustes los límites. Cambiar $j = k - 1$ en $\sum_{k=1}^{n} a_k$ da $\sum_{j=0}^{n-1} a_{j+1}$ —la misma suma. Y en sumas dobles podés intercambiar el orden, $\sum_i \sum_j a_{ij} = \sum_j \sum_i a_{ij}$ , lo que a menudo destraba un cálculo. Vale la pena tener a mano:

\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

El error más caro. $\sum_i a_i b_i \neq \bigl(\sum_i a_i\bigr)\bigl(\sum_i b_i\bigr)$ . El producto de dos sumas genera todos los cruces: $\bigl(\sum_i a_i\bigr)\bigl(\sum_j b_j\bigr) = \sum_i \sum_j a_i b_j$ —un doble sumatorio—, no solo los diagonales $a_i b_i$ . Confundirlos es el tropezón clásico al expandir varianzas y covarianzas.

Telescoping

El truco más elegante: si el término general es una diferencia de consecutivos, casi todo se cancela y la suma colapsa a los extremos.

\sum_{k=1}^{n} (a_k - a_{k+1}) = a_1 - a_{n+1}.

Cada $-a_{k+1}$ se cancela con el $+a_{k+1}$ del término siguiente. Lo difícil es reconocer la diferencia escondida —y ahí entran las fracciones parciales. Por ejemplo:

\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n\to\infty]{} 1.

La serie geométrica

La serie más importante de todas. Su suma parcial sale de un truco de una línea: restar la serie de su propia versión multiplicada por $r$ .

S_n = \sum_{k=0}^{n} r^k, \quad S_n - r S_n = 1 - r^{n+1} \;\Longrightarrow\; S_n = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}.

Si $|r| < 1$ , el término $r^{n+1} \to 0$ y la serie converge:

\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1 - r} \quad (|r| < 1).

Serie geométrica: sumas parciales y límite — interactivo

Sₙ = (1 − r^(n+1)) / (1 − r) = 2.491 → 1/(1−r) = 2.5

razón r0.6

términos n10

La suma parcial Sₙ = 1 + r + r² + ⋯ + rⁿ vale (1 − rⁿ⁺¹)/(1 − r). Si |r| < 1, el término rⁿ⁺¹ → 0 y las sumas convergen al límite 1/(1 − r). Si |r| ≥ 1, los términos no se achican y la serie diverge. Es el esqueleto de los descuentos, las anualidades y las cadenas de valor presente.

Es el esqueleto del valor presente: una renta perpetua de flujo $1$ descontada a tasa $i$ vale $\sum_{k\ge 1}(1+i)^{-k} = 1/i$ . Y, derivando o reindexando, da las variantes aritmético-geométricas que aparecen en anualidades.

El teorema del binomio

Generaliza los productos notables a cualquier potencia:

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k}, \qquad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.

Los coeficientes $\binom{n}{k}$ son las filas del triángulo de Pascal, donde cada número es la suma de los dos de arriba, $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ :

Triángulo de Pascal y el binomio — interactivo

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Los coeficientes de (a + b)ⁿ son la fila n del triángulo de Pascal —los números combinatorios C(n, k)—. Cada uno es la suma de los dos de arriba (C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k)), y cuenta de cuántas formas se eligen k factores "b" entre los n paréntesis. En el término, el exponente de a baja mientras el de b sube, sumando siempre n.

La lectura combinatoria: al expandir el producto de $n$ paréntesis $(a+b)$ , el coeficiente de $a^{n-k} b^k$ cuenta de cuántas formas elegís la " $b$ " en exactamente $k$ de ellos —que es justamente $\binom{n}{k}$ . Dos casos especiales valen como reglas: $\sum_k \binom{n}{k} = 2^n$ (poniendo $a=b=1$ ) y la fila simétrica $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .

El binomio normaliza la binomial. El mismo $\binom{n}{k}$ aparece en $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ —cuenta de cuántas formas ocurren $k$ éxitos en $n$ ensayos—. Y que las probabilidades sumen $1$ es, literalmente, el teorema: $\sum_k \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \bigl(p + (1-p)\bigr)^n = 1$ . La misma combinatoria, sin coincidencia.

Recall activo

Resolvé sin mirar:

¿Cuánto vale $\sum_{k=0}^{\infty} (1/3)^k$ ?
Usá telescoping: $\sum_{k=1}^{n}\bigl(\tfrac1k - \tfrac1{k+1}\bigr)$ .
¿Cuál es el coeficiente de $a^2 b^2$ en $(a+b)^4$ ?
¿Por qué $\sum_i a_i b_i \neq \bigl(\sum_i a_i\bigr)\bigl(\sum_i b_i\bigr)$ ?

Soluciones: (1) $\tfrac{1}{1 - 1/3} = \tfrac32$ ; (2) $1 - \tfrac{1}{n+1}$ ; (3) $\binom{4}{2} = 6$ ; (4) el producto de sumas genera todos los cruces $a_i b_j$ , no solo los diagonales.

Lo que sigue

Con manipulación algebraica, completar el cuadrado, exponenciales/logaritmos y sumas, ya están las herramientas escalares. La Parte IV sube a vectores y matrices: las operaciones esenciales del álgebra lineal y las identidades de inversión (Sherman–Morrison, Woodbury) que evitan recalcular inversas desde cero.