Sumas de Riemann y la integral definida

Antes de cualquier fórmula: una integral definida es un área. El área entre la curva $y = f(x)$ y el eje, desde $x = a$ hasta $x = b$ . El problema es que las fórmulas de área que conocemos —rectángulo, triángulo— no sirven para una región de borde curvo. La idea de Riemann es tramposa y genial: si no sabés medir lo curvo, aproximalo con rectángulos, y después achicalos hasta el límite.

La intuición, en pantalla

Cortá el intervalo en $n$ pedazos, levantá un rectángulo sobre cada uno y sumá sus áreas. Movete con el slider: cuantos más rectángulos, mejor pega la suma al área real. Cambiá el punto de muestra (izquierda, medio, derecha) y mirá cómo el error cae igual cuando $n$ crece.

∫₀² x² dx — interactivo

n = 8 rectángulosΔx = 0.250

2.1875

Aproximación

2.6667

Valor real (8/3)

-0.4792

Error

Con $n = 8$ la aproximación es grosera; con $n = 80$ ya casi no distinguís los rectángulos de la curva. Eso que estás viendo —el error tendiendo a cero— es, literalmente, la definición de la integral.

La definición formal

Partimos $[a, b]$ en $n$ subintervalos iguales de ancho

\Delta x = \frac{b - a}{n}.

En cada subintervalo elegimos un punto de muestra $x_i^{*}$ (el extremo izquierdo, el derecho, el medio: da igual al final). La suma de Riemann es

S_n = \sum_{i=1}^{n} f\!\left(x_i^{*}\right)\, \Delta x .

Cada término $f(x_i^{*})\,\Delta x$ es el área de un rectángulo: altura por base. La integral definida es el límite de esas sumas cuando los rectángulos se vuelven infinitamente finos:

\int_a^b f(x)\, dx \;=\; \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f\!\left(x_i^{*}\right)\, \Delta x .

Un ejemplo que podés verificar

Para $f(x) = x^2$ en $[0, 2]$ , el límite da

\int_0^2 x^2\, dx \;=\; \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2 \;=\; \frac{8}{3} \approx 2.6667 .

Es exactamente el número que persigue la aproximación de arriba a medida que subís $n$ . No es magia: es el límite haciéndose visible.

El puente al análisis real

Acá aparece la pregunta fina: ¿el límite siempre existe? ¿Y si elegir extremos izquierdos diera un número distinto que elegir extremos derechos?

El análisis real lo formaliza con las sumas inferior y superior sobre una partición $P$ , tomando en cada subintervalo el ínfimo y el supremo de $f$ :

\underline{S}(f, P) \;\le\; \int_a^b f(x)\,dx \;\le\; \overline{S}(f, P).

$f$ es Riemann-integrable cuando el supremo de las sumas inferiores coincide con el ínfimo de las superiores. Cuando eso pasa, da igual qué punto de muestra elijas: todas las sumas de Riemann convergen al mismo número.

Por eso en el interactivo "izquierda", "medio" y "derecha" terminan en el mismo lugar: $x^2$ es continua, y toda función continua en un intervalo cerrado es integrable. Lo que parecía un truco de rectángulos es, bien mirado, un teorema.