Funciones de masa y densidad

La CDF te da la probabilidad acumulada hasta un punto. Pero para describir el comportamiento local —dónde están las modas, la asimetría, el grosor de las colas— necesitás su ritmo de cambio. Esa es la densidad: la tasa local de probabilidad, cuánta probabilidad hay concentrada cerca de cada punto. Es la derivada de la CDF en el caso continuo y el salto en el discreto.

Dos definiciones, una idea

PMF (caso discreto). Si $X$ es discreta, su función de masa es $p_X(x) = P(X = x) = F_X(x) - F_X(x^-).$ Es, literalmente, el salto de $F_X$ en $x$ .

PDF (caso continuo). Si $X$ es continua, su densidad $f_X \ge 0$ es la única función tal que $F_X(c) = \int_{-\infty}^{c} f_X(t)\, dt \quad \text{para todo } c.$ Por el teorema fundamental del cálculo, $f_X = F_X'$ donde $F_X$ es derivable.

Son el salto y la pendiente de la misma CDF. Movelo y miralo:

Densidad = derivada de la CDF · área = probabilidad — interactivo

c = 0.00 · F(c) = 0.557

El área sombreada bajo la densidad hasta c es exactamente F(c), y la pendiente de la CDF en c es la densidad f(c). Dos caras de lo mismo: f = F′, F = ∫ f. La probabilidad es área, no altura —un punto solo tiene ancho cero, por eso P(X = c) = 0.

Las propiedades que la caracterizan

No hacen falta axiomas nuevos: son la traducción de los de Kolmogorov (no negatividad y normalización) al lenguaje de densidades. Una función es PMF/PDF válida si y solo si:

No negatividad: $f(x) \ge 0$ para todo $x$ .
Normalización: $\displaystyle\sum_x p_X(x) = 1$ (discreto) o $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\, dx = 1$ (continuo).

Una densidad no es una probabilidad

Es el malentendido más común, y vale la pena clavarlo. En el caso continuo, $f_X(x)$ no es $P(X = x)$ —de hecho $P(X = x) = 0$ para todo $x$ —. La densidad es probabilidad por unidad de longitud; lo que es una probabilidad es el área:

P(X \in A) = \int_A f_X(x)\, dx \quad (\text{continuo}), \qquad P(X \in A) = \sum_{x \in A} p_X(x) \quad (\text{discreto}).

	PMF $p_X(x)$	PDF $f_X(x)$
Interpretación	probabilidad de $X = x$	densidad por unidad de longitud
Rango	$[0, 1]$	$[0, \infty)$ — puede pasar de 1
$P(X = x)$	$= p_X(x)$	$= 0$ siempre
Probabilidad de $A$	$\sum_{x \in A} p_X(x)$	$\int_A f_X(x)\, dx$

Que $f_X(x) = 5{,}7$ es perfectamente válido. El caso extremo: $X \sim \text{Uniforme}(0,\,0{,}1)$ tiene $f_X(x) = 10$ sobre $[0,\,0{,}1]$ —y aun así integra a $1$ , porque el área es $10 \times 0{,}1$ . El catálogo de formas habituales:

Catálogo de densidades — interactivo

μ0.00

σ1.00

La gaussiana es el caballo de batalla (CLT, error de medición, log-precios en Black–Scholes). Su pico vale 1/(σ√2π): con σ chico la densidad pasa de 1 —y está bien, porque lo que integra a 1 es el área, no la altura.

Operativa con densidades

Casi todo lo que se calcula con una variable pasa por su densidad:

Probabilidades: el área (o la suma) sobre el conjunto, como arriba.
Esperanza (anticipo, LOTUS): $\displaystyle E[g(X)] = \int_{\mathbb R} g(x)\, f_X(x)\, dx$ (continuo) o $\sum_x g(x)\, p_X(x)$ (discreto).
Transformación (anticipo): para $Y = g(X)$ con $g$ monótona y derivable, $\displaystyle f_Y(y) = f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\,\Bigl|\tfrac{d}{dy} g^{-1}(y)\Bigr|$ —el jacobiano corrige el estiramiento del eje (es la derivada de la identidad de CDFs $F_Y = F_X \circ g^{-1}$ que vimos antes).
Soporte: $\operatorname{supp}(X) = \{x : f_X(x) > 0\}$ , la región donde la variable "vive".
Cuantiles: $q_\alpha = F_X^{-1}(\alpha) = \inf\{x : F_X(x) \ge \alpha\}$ —la mediana es $q_{0{,}5}$ , y el VaR al $5\%$ es un cuantil.

La unificación: derivada de Radon–Nikodym

PMF y PDF parecen objetos distintos, pero bajo la lente de la teoría de la medida son el mismo: ambos son la derivada de Radon–Nikodym de la ley $P_X$ respecto de una medida de referencia $\mu$ ,

P(X \in A) = \int_A \frac{dP_X}{d\mu}(x)\, d\mu(x).

Lo único que cambia es qué $\mu$ usás:

Caso	Medida de referencia $\mu$	$dP_X/d\mu$
Discreto	medida de conteo	PMF $p_X$
Continuo	medida de Lebesgue	PDF $f_X$

Por eso se puede usar una sola notación para los dos casos: el cálculo es idéntico, solo cambia la medida. Y es también la razón por la que un cambio de medida $dQ = Z\, dP$ es simplemente cambiar la densidad respecto de una misma referencia: valuar bajo $\mathbb Q$ es, operativamente, tomar una esperanza bajo $\mathbb P$ con otra densidad.

Lo que sigue

Con la densidad ya tenemos el objeto que se manipula a diario. El próximo paso es exprimirle números: esperanza, varianza y momentos —el resumen que convierte una distribución entera en unas pocas cantidades— y de ahí a los estimadores.