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Sucesiones y convergencia

Una sucesión es una lista infinita de números: $a_1, a_2, a_3, \dots$ Decir que "se acerca" a un número $L$ es fácil de sentir y difícil de definir. ¿Acercarse cuánto? ¿Para siempre? ¿Y si oscila? El análisis real reemplaza la palabra vaga "se acerca" por algo que se puede verificar: el juego de ε y N.

La idea: un desafío de tolerancias

Pensalo como un duelo. Vos me das una tolerancia $\varepsilon > 0$ —tan chica como quieras— y yo tengo que encontrar un umbral $N$ a partir del cual todos los términos quedan a menos de $\varepsilon$ de $L$. Si para cualquier tolerancia que propongas yo siempre puedo responder con un $N$, entonces la sucesión converge a $L$.

Movete con el slider: cada vez que achicás $\varepsilon$, la banda alrededor de $L$ se angosta y el umbral $N$ se corre a la derecha. Pero siempre existe.

Fijate en la sucesión errática $\cos(n)/n$: no es monótona ni ordenada, salta para todos lados — y sin embargo converge. La convergencia no es sobre el orden de los términos, es sobre la cola: lo único que importa es que, tarde o temprano, todos se metan en la banda y no salgan más.

La definición formal

Leída en orden, es exactamente el duelo: para toda tolerancia $\varepsilon$, existe un umbral $N$, tal que para todo índice $n > N$, la distancia $\lvert a_n - L\rvert$ es menor que $\varepsilon$. El orden de los cuantificadores es sagrado: $N$ puede (y suele) depender de $\varepsilon$. A más exigencia, más hay que esperar.

Calcular el N a mano

Tomemos $a_n = 1 + \dfrac{(-1)^n}{n}$, que converge a $L = 1$. La distancia al límite es

Queremos $\dfrac{1}{n} < \varepsilon$, o sea $n > \dfrac{1}{\varepsilon}$. Entonces basta tomar

Probalo contra el interactivo: con $\varepsilon = 0.1$ la fórmula da $N = 10$, y vas a ver que recién a partir de ahí los puntos se quedan adentro. La definición no era decorativa: te dice exactamente cuánto hay que esperar.

El límite, si existe, es único. Si una sucesión tuviera dos límites $L \neq L'$, tomá $\varepsilon = \tfrac{1}{2}\lvert L - L'\rvert$: la cola no puede estar a la vez cerca de los dos. La contradicción prueba la unicidad.

Subsucesiones

Una subsucesión se obtiene quedándote con algunos términos, en orden, salteándote otros: elegís índices $n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$ y formás $a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \dots$ (infinitos términos, mismo orden). Por ejemplo, de $a_n = (-1)^n = -1, 1, -1, 1, \dots$, la subsucesión de índices pares es $1, 1, 1, \dots \to 1$ y la de impares $-1, -1, \dots \to -1$. La sucesión original no converge, pero tiene subsucesiones que sí, ¡a destinos distintos!

Eso no es casualidad, es un teorema:

De ahí la herramienta práctica más usada para probar que algo no converge: exhibí dos subsucesiones con límites distintos. Cada destino de una subsucesión se llama límite subsecuencial; una sucesión converge exactamente cuando tiene un único límite subsecuencial.

Acotación: necesaria, no suficiente

Convergente $\Rightarrow$ acotada. Si $a_n \to p$, tomá $\varepsilon = 1$: desde cierto $N$ todos los términos distan menos de $1$ de $p$, y los finitos anteriores están acotados por su máximo. Todos viven en una bola. $\;\blacksquare$

El recíproco falla: $a_n = (-1)^n$ está acotada ($\pm 1$) pero no converge —oscila sin estabilizarse—. La acotación es necesaria pero no suficiente.

Sucesiones de Cauchy y completitud

El problema real: casi nunca conocés el límite de antemano —un algoritmo iterativo no sabe a dónde va—. Hace falta un criterio de convergencia que no mencione el destino. Ese es Cauchy:

$\{a_n\}$ es de Cauchy si para todo $\varepsilon > 0$ existe $N$ tal que $n, m \ge N \Rightarrow \lvert a_n - a_m\rvert < \varepsilon$.

No aparece ningún $p$: la condición es interna, sobre la cercanía mutua de los términos lejanos. Y converger implica ser de Cauchy, siempre:

Convergente $\Rightarrow$ Cauchy. Si $a_n \to p$, para $n, m \ge N$ con $\lvert a_n - p\rvert, \lvert a_m - p\rvert < \tfrac\varepsilon2$, la triangular da $\lvert a_n - a_m\rvert < \varepsilon$. $\;\blacksquare$

¿Vale la vuelta? Depende del espacio. Uno donde toda sucesión de Cauchy converge se llama completo.

$\mathbb{R}^k$ es completo. Una sucesión de Cauchy es acotada (mismo argumento de arriba), así que por Bolzano–Weierstrass tiene una subsucesión $a_{n_k} \to p$. Y entonces toda la sucesión converge a ese $p$: dado $\varepsilon$, combiná $\lvert a_n - a_{n_k}\rvert < \tfrac\varepsilon2$ (Cauchy) con $\lvert a_{n_k} - p\rvert < \tfrac\varepsilon2$ (subsucesión). $\;\blacksquare$

La cadena cierra: la completitud de $\mathbb{R}^k$ descansa en Bolzano–Weierstrass, que descansaba en la propiedad del supremo (Cap. 1). En cambio $\mathbb{Q}$ no es completo: la iteración de Newton $x_1 = 1$, $x_{n+1} = \tfrac{x_n}{2} + \tfrac{1}{x_n}$ es de Cauchy y racional, pero se aprieta hacia $\sqrt2 \notin \mathbb{Q}$. El hueco del Cap. 1 reaparece como falla de completitud (su forma abstracta está en espacios métricos).

Por qué esto es el corazón del análisis

Este patrón —∀ε ∃(umbral) ∀(después del umbral)— es la plantilla que vas a ver una y otra vez. Cuando pasemos a límites de funciones, el "umbral" $N$ sobre los índices se convierte en un radio $\delta$ sobre la variable: para toda tolerancia $\varepsilon$ en la salida, existe un $\delta$ en la entrada. Es literalmente la misma película con otro reparto. Dominá ε-N y ε-δ es gratis.