Sucesiones y convergencia

Una sucesión es una lista infinita de números: $a_1, a_2, a_3, \dots$ Decir que "se acerca" a un número $L$ es fácil de sentir y difícil de definir. ¿Acercarse cuánto? ¿Para siempre? ¿Y si oscila? El análisis real reemplaza la palabra vaga "se acerca" por algo que se puede verificar: el juego de ε y N.

La idea: un desafío de tolerancias

Pensalo como un duelo. Vos me das una tolerancia $\varepsilon > 0$ —tan chica como quieras— y yo tengo que encontrar un umbral $N$ a partir del cual todos los términos quedan a menos de $\varepsilon$ de $L$ . Si para cualquier tolerancia que propongas yo siempre puedo responder con un $N$ , entonces la sucesión converge a $L$ .

Movete con el slider: cada vez que achicás $\varepsilon$ , la banda alrededor de $L$ se angosta y el umbral $N$ se corre a la derecha. Pero siempre existe.

Convergencia ε-N — interactivo

ε = 0.30achicá ε y mirá crecer N

Con ε = 0.30 alcanza con N = 3: todos los términos con n > 3 (en verde) caen dentro de la banda. Los rojos son los que todavía se escapan.

Fijate en la sucesión errática $\cos(n)/n$ : no es monótona ni ordenada, salta para todos lados — y sin embargo converge. La convergencia no es sobre el orden de los términos, es sobre la cola: lo único que importa es que, tarde o temprano, todos se metan en la banda y no salgan más.

La definición formal

a_n \to L \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\, \varepsilon > 0 \;\; \exists\, N \in \mathbb{N} \;\; \forall\, n > N : \; \lvert a_n - L \rvert < \varepsilon .

Leída en orden, es exactamente el duelo: para toda tolerancia $\varepsilon$ , existe un umbral $N$ , tal que para todo índice $n > N$ , la distancia $\lvert a_n - L\rvert$ es menor que $\varepsilon$ . El orden de los cuantificadores es sagrado: $N$ puede (y suele) depender de $\varepsilon$ . A más exigencia, más hay que esperar.

Calcular el N a mano

Tomemos $a_n = 1 + \dfrac{(-1)^n}{n}$ , que converge a $L = 1$ . La distancia al límite es

\lvert a_n - 1 \rvert = \left\lvert \frac{(-1)^n}{n} \right\rvert = \frac{1}{n}.

Queremos $\dfrac{1}{n} < \varepsilon$ , o sea $n > \dfrac{1}{\varepsilon}$ . Entonces basta tomar

N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil .

Probalo contra el interactivo: con $\varepsilon = 0.1$ la fórmula da $N = 10$ , y vas a ver que recién a partir de ahí los puntos se quedan adentro. La definición no era decorativa: te dice exactamente cuánto hay que esperar.

El límite, si existe, es único. Si una sucesión tuviera dos límites $L \neq L'$ , tomá $\varepsilon = \tfrac{1}{2}\lvert L - L'\rvert$ : la cola no puede estar a la vez cerca de los dos. La contradicción prueba la unicidad.

Subsucesiones

Una subsucesión se obtiene quedándote con algunos términos, en orden, salteándote otros: elegís índices $n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$ y formás $a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \dots$ (infinitos términos, mismo orden). Por ejemplo, de $a_n = (-1)^n = -1, 1, -1, 1, \dots$ , la subsucesión de índices pares es $1, 1, 1, \dots \to 1$ y la de impares $-1, -1, \dots \to -1$ . La sucesión original no converge, pero tiene subsucesiones que sí, ¡a destinos distintos!

Eso no es casualidad, es un teorema:

a_n \to p \quad\Longleftrightarrow\quad \text{toda subsucesión de } \{a_n\} \text{ converge a } p .

De ahí la herramienta práctica más usada para probar que algo no converge: exhibí dos subsucesiones con límites distintos. Cada destino de una subsucesión se llama límite subsecuencial; una sucesión converge exactamente cuando tiene un único límite subsecuencial.

Por qué esto es el corazón del análisis

Este patrón —∀ε ∃(umbral) ∀(después del umbral)— es la plantilla que vas a ver una y otra vez. Cuando pasemos a límites de funciones, el "umbral" $N$ sobre los índices se convierte en un radio $\delta$ sobre la variable: para toda tolerancia $\varepsilon$ en la salida, existe un $\delta$ en la entrada. Es literalmente la misma película con otro reparto. Dominá ε-N y ε-δ es gratis.