Factorización

Factorizar es deshacer un producto: pasar de una suma de términos a un producto de factores. Importa porque un producto revela ceros (si $A \cdot B = 0$ , entonces $A = 0$ o $B = 0$ ), permite cancelar en fracciones y separa lo que dependía de un parámetro. Es la operación inversa de la lección anterior.

Factor común

Lo primero, siempre: sacar lo que se repite. Si todos los términos comparten un factor, se extrae con la distributiva al revés:

6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3), \qquad e^{x}(x+1) + e^{x} = e^{x}(x + 2).

El factor común no tiene por qué ser un monomio: puede ser un paréntesis entero, como $(x+1)$ en $a(x+1) + b(x+1) = (x+1)(a+b)$ .

Agrupación de términos

Cuando no hay un factor común a todos los términos, a veces sí lo hay por grupos. Se agrupa, se factoriza cada grupo, y aparece un factor común nuevo:

x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(x^2 + 1).

El truco es elegir la agrupación que haga aparecer el mismo paréntesis en ambos grupos.

Trinomio $x^2 + bx + c$

El caso estrella. Buscás dos números que sumen $b$ y multipliquen $c$ :

x^2 + bx + c = (x + p)(x + q), \qquad p + q = b,\; p\,q = c.

No es magia: es leer al revés el rectángulo de área $x^2 + bx + c$ . Movelo y mirá cómo los lados $(x+p)$ y $(x+q)$ producen los coeficientes:

Factorizar = hallar los lados del rectángulo — interactivo

x² + 5x + 6=(x + 2)(x + 3)

buscás dos números con
suma = 5 y producto = 6

Factorizar x² + bx + c es leer el rectángulo al revés: conocés el área (los coeficientes) y buscás los lados. El término x² sale del cuadrado; los dos rectángulos px y qx dan el bx = (p+q)x; y la esquina da el c = pq. Por eso la receta es: dos números que sumen b y multipliquen c.

Los signos salen solos del producto y la suma: si $c > 0$ , $p$ y $q$ tienen el mismo signo (el de $b$ ); si $c < 0$ , tienen signos opuestos. Así $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$ y $x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$ .

Trinomio $a x^2 + bx + c$

Con líder $a \neq 1$ se usa el método AC (partir el término del medio). Buscás dos números que multipliquen $a \cdot c$ y sumen $b$ , partís $bx$ en esos dos sumandos, y agrupás:

2x^2 + 7x + 3: \quad a c = 6,\ \text{y } 6 = 6 \cdot 1,\ 6 + 1 = 7.

2x^2 + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + (x + 3) = (x + 3)(2x + 1).

Por qué funciona. Si $ax^2 + bx + c = (mx+p)(nx+q) = mn\,x^2 + (mq+np)\,x + pq$ , entonces $a = mn$ , $c = pq$ y $b = mq + np$ . Multiplicando, $ac = (mn)(pq) = (mq)(np)$ : los dos números que buscás — $mq$ y $np$ — multiplican $ac$ y suman $b$ . El caso difícil se reduce al fácil de arriba, con $ac$ en lugar de $c$ .

¿Factoriza o no, sin buscar a ciegas? Un trinomio $ax^2 + bx + c$ factoriza limpio sobre los enteros solo si el discriminante $b^2 - 4ac$ es un cuadrado perfecto —la misma cantidad que vive bajo la raíz de la fórmula cuadrática—. Si no lo es, no pierdas tiempo buscando: las raíces son irracionales o complejas, y toca la fórmula cuadrática $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ , cuyo origen es, justamente, completar el cuadrado (próxima parte).

Suma y diferencia de cubos

Heredadas de los productos notables, son las que más se olvidan:

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2), \qquad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).

Reconocer que $x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$ desbloquea límites y simplificaciones que de otro modo parecen $\tfrac{0}{0}$ .

Factorizar para separar un parámetro

Una factorización menos escolar pero potente: reordenar una expresión para aislar la dependencia de un parámetro $\theta$ , separándolo de lo que solo depende de los datos. Es el mismo "sacar factor común", pero el factor que perseguimos es todo lo que toca a $\theta$ .

Aparece en estadística como el teorema de factorización de Fisher–Neyman: un resumen $T(x)$ de los datos es suficiente para $\theta$ (contiene toda la información sobre él) si y solo si la densidad conjunta se factoriza así:

f(x;\theta) = \underbrace{g\big(T(x);\theta\big)}_{\text{toca }\theta\text{ solo vía }T} \cdot \underbrace{h(x)}_{\text{sin }\theta}.

Ejemplo: $n$ ensayos Bernoulli( $\theta$ ). La conjunta es $\prod_i \theta^{x_i}(1-\theta)^{1-x_i} = \theta^{\,T}(1-\theta)^{\,n-T}$ con $T = \sum x_i$ . La densidad toca $\theta$ solo a través de $T$ : por Fisher–Neyman, el número de éxitos $T = \sum x_i$ es suficiente —para estimar $\theta$ no hace falta la secuencia entera de ceros y unos, basta cuántos unos hubo—. Reconocer esa factorización es la habilidad de "sacar factor común", aplicada a una densidad en vez de a un polinomio.

Recall activo

Resolvé sin mirar:

Factorizá $15x^3 - 10x^2$ (factor común).
Factorizá $x^3 + x^2 + 2x + 2$ (agrupación).
Factorizá $x^2 - 5x + 6$ .
Factorizá $2x^2 + 7x + 3$ (método AC).
Factorizá $27x^3 - 8$ .

Soluciones: (1) $5x^2(3x-2)$ ; (2) $(x+1)(x^2+2)$ ; (3) $(x-2)(x-3)$ ; (4) $(2x+1)(x+3)$ ; (5) $(3x-2)(9x^2+6x+4)$ .

Lo que sigue

Con factor común, agrupación, trinomios y cubos cubrís casi todo lo que se factoriza a mano. La pieza que falta para manipular expresiones racionales —sumarlas, simplificarlas y descomponerlas— son las fracciones algebraicas.