Series numéricas

Una serie no es un objeto nuevo. Es una sucesión disfrazada: la sucesión de sus sumas parciales. Todo lo que probamos sobre convergencia de sucesiones y sobre la completitud de ℝ se reusa tal cual. Esa es la idea que hay que tener clavada antes de cualquier criterio.

De sucesiones a series

Dada una sucesión $a_1, a_2, a_3, \dots$ , su serie es el límite (si existe) de las sumas parciales

s_N = \sum_{n=1}^{N} a_n .

Cada $s_N$ es una suma finita, perfectamente calculable. Decimos que la serie converge si la sucesión $\{s_N\}$ converge, y en ese caso

\sum_{n=1}^{\infty} a_n \;=\; \lim_{N \to \infty} s_N .

No hay teoría nueva: una serie converge exactamente cuando converge su sucesión de sumas parciales.

Criterio de Cauchy para series. Como $\{s_N\}$ vive en el $\mathbb{R}$ completo, $\sum a_n$ converge $\iff$ es de Cauchy —y eso significa que los bloques de cola se achican: para todo $\varepsilon > 0$ existe $N$ con $\bigl\lvert \sum_{k=m+1}^{n} a_k \bigr\rvert < \varepsilon$ para todos $n > m \ge N$ . El criterio del término $n$ -ésimo de abajo es solo el caso $n = m + 1$ .

La serie geométrica

El ejemplo madre. Para $\lvert r\rvert < 1$ , la suma parcial tiene forma cerrada:

s_N = \sum_{n=0}^{N} r^{n} = \frac{1 - r^{N+1}}{1 - r} \;\xrightarrow[N\to\infty]{}\; \frac{1}{1 - r},

porque $r^{N+1} \to 0$ . Con $r = \tfrac12$ : $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$ . Infinitos pasos, cada uno la mitad del anterior, suman finito. Movete con el slider y mirá cómo $s_N$ trepa hacia su límite —o se escapa, en la armónica:

Sumas parciales sₙ — interactivo

N = 20 términosgeométrica: converge a 1

1.00000

s₍20₎

límite

El criterio del término n-ésimo

La primera pregunta ante cualquier serie. Es una condición necesaria:

\sum a_n \text{ converge} \;\Longrightarrow\; a_n \to 0 .

Demostración. Si $s_N \to s$ , también $s_{N-1} \to s$ , y entonces $a_N = s_N - s_{N-1} \to s - s = 0$ . $\;\blacksquare$

Lo que no vale es el recíproco, y es el error más común de todos. Usalo solo por su contrapositiva:

a_n \not\to 0 \;\Longrightarrow\; \sum a_n \text{ diverge}.

Si $a_n \to 0$ , la regla se queda muda: no concluye nada. El contraejemplo es la serie armónica $\sum \tfrac1n$ , que tiene $a_n \to 0$ y aun así diverge. La prueba (Oresme, s. XIV) agrupa en bloques de potencias de dos:

1 + \tfrac12 + \underbrace{\tfrac13 + \tfrac14}_{>\,\tfrac12} + \underbrace{\tfrac15 + \cdots + \tfrac18}_{>\,\tfrac12} + \cdots \;\ge\; 1 + \tfrac12 + \tfrac12 + \tfrac12 + \cdots \to \infty .

Orden mental: (1) calculá a dónde va $a_n$ ; (2) aplicá la regla. Si no va a cero, diverge y listo. Si va a cero, hace falta otra herramienta.

Criterios para la zona muda

Cuando $a_n \to 0$ , se decide con estos (enunciados para términos donde aplican).

Comparación

Aplastá tu serie entre una conocida. Con $0 \le a_n \le b_n$ :

\sum b_n \text{ converge} \;\Rightarrow\; \sum a_n \text{ converge}, \qquad \sum a_n \text{ diverge} \;\Rightarrow\; \sum b_n \text{ diverge}.

Lo difícil es con qué comparar: necesitás un repertorio (geométricas, p-series).

Criterio del cociente

Mide cuánto encoge cada término respecto al anterior. Favorito con factoriales y potencias. Con

L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert : \qquad L < 1 \Rightarrow \text{converge}, \quad L > 1 \Rightarrow \text{diverge}, \quad L = 1 \Rightarrow \text{mudo}.

Por ejemplo $a_n = \tfrac{1}{n!}$ da $\tfrac{a_{n+1}}{a_n} = \tfrac{1}{n+1} \to 0 < 1$ : converge.

Criterio de la raíz

Como el cociente, pero con la raíz $n$ -ésima. Útil cuando el término es $(\text{algo})^n$ :

L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} : \qquad L < 1 \Rightarrow \text{converge}, \quad L > 1 \Rightarrow \text{diverge}, \quad L = 1 \Rightarrow \text{mudo}.

Ambos criterios funcionan comparando, por debajo, con una geométrica de razón $L$ .

Con rigor se enuncian con $\limsup$ (que siempre existe), no con $\lim$ . Y la raíz es estrictamente más fuerte que el cociente: decide en todos los casos en que el cociente decide, y en algunos más —aunque el cociente suele ser más fácil de calcular.

Las p-series

La regla que zanja la zona muda clásica:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} \quad \text{converge si } p > 1, \quad \text{diverge si } p \le 1.

Solo hay que leer el exponente y compararlo con $1$ .

Por qué. Por el criterio de condensación de Cauchy (una serie de términos positivos decrecientes $\sum a_n$ converge $\iff$ $\sum 2^n a_{2^n}$ converge), $\sum \tfrac{1}{n^p}$ converge $\iff$ $\sum 2^n (2^n)^{-p} = \sum 2^{\,n(1-p)}$ converge —una geométrica de razón $2^{\,1-p}$ , que es menor que $1$ exactamente cuando $p > 1$ . La frontera cae, otra vez, en $p = 1$ . $\;\blacksquare$

$p$	serie	¿converge?
$3$	$\sum 1/n^3$	sí (cae rápido)
$2$	$\sum 1/n^2$	sí (suma $\pi^2/6$ )
$1$	$\sum 1/n$ (armónica)	no — justo en el filo
$\tfrac12$	$\sum 1/\sqrt{n}$	no (cae demasiado lento)

La frontera está en $p = 1$ . Tanto la armónica ( $p=1$ ) como $\sum 1/n^2$ ( $p=2$ ) tienen $a_n \to 0$ , pero destinos opuestos: por eso el criterio del término no las distinguía.

Convergencia absoluta vs. condicional

Con signos mezclados aparece una distinción fina:

Absoluta: $\sum a_n$ converge absolutamente si $\sum \lvert a_n\rvert$ converge.
Condicional: $\sum a_n$ converge, pero $\sum \lvert a_n\rvert$ diverge. Vive solo de la cancelación entre positivos y negativos.

La jerarquía, demostrable con el criterio de Cauchy y la desigualdad triangular ( $\lvert \sum_{k=m}^{n} a_k\rvert \le \sum_{k=m}^{n} \lvert a_k\rvert$ ):

\text{converge absolutamente} \;\Longrightarrow\; \text{converge}.

El recíproco es falso. La armónica alternada $\sum \tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ converge (a $\ln 2$ ), pero al quitar los signos queda la armónica, que diverge: converge condicionalmente.

El reordenamiento de Riemann

Acá está el resultado perturbador. Si una serie converge condicionalmente, sus términos se pueden reordenar para que sume cualquier número —o para que diverja. Los mismos términos, en otro orden, dan otro resultado:

Reordenamiento de Riemann — interactivomismos términos de 1 − ½ + ⅓ − ¼ + …

objetivo T = 2.0arrastrá: la misma serie suma lo que quieras

En su orden natural, 1 − ½ + ⅓ − ¼ + ⋯ suma ln 2 ≈ 0.6931. Reordenando los mismos términos (primero positivos hasta pasar T, después negativos hasta bajar de T) la suma converge a T = 2.0 (tras 260 pasos: 1.979). El orden, que en una suma finita no importa, acá lo decide todo.

Esto es imposible en una suma finita, donde el orden nunca importa. Una serie absolutamente convergente, en cambio, está blindada: reordenala como quieras, siempre suma lo mismo.

Moraleja operativa

La convergencia absoluta es la propiedad fuerte y segura; la condicional es frágil. En cómputo no es un tecnicismo: si acumulás una serie solo condicionalmente convergente en punto flotante, el orden de acumulación puede cambiar el resultado — una pesadilla de reproducibilidad. Y todo criterio de parada iterativo ( $\lvert x_n - x_{n-1}\rvert < 10^{-8}$ ) es la condición de Cauchy disfrazada: funciona porque trabajás sobre $\mathbb{R}^k$ , que es completo. La teoría de series no es decorativa; es lo que vuelve confiable tu código.