La integral de Lebesgue

Es el gran final de Rudin y, posiblemente, el capítulo de mayor rendimiento: es el cimiento de la probabilidad moderna. La integral de Riemann (Cap. 6) funciona, pero es frágil —se rompe con funciones feas y con los intercambios límite-integral—. Lebesgue no construye una integral "más difícil": construye la correcta, la que es completa, flexible, y resulta ser exactamente la esperanza $E[X]$ .

La idea central: cortar el rango, no el dominio

Acá está todo el secreto, y es de una simpleza desconcertante. Riemann parte el dominio (el eje $x$ ) en franjas verticales. Lebesgue parte el rango (el eje $y$ ) en franjas horizontales. Cambialo y mirá la diferencia:

Riemann vs Lebesgue — interactivo

n = 10 franjas verticalescortamos el dominio (eje x)

Riemann parte el dominio en franjas verticales y suma base × altura. Funciona si la función es "tranquila", pero se rompe si salta demasiado.

La analogía clásica: para contar una pila de monedas, Riemann las recorre por su posición en la pila (de izquierda a derecha, sumando lo que encuentra); Lebesgue las agrupa por su valor —todas las de 10, todas las de 25— y hace $\sum (\text{valor}) \times (\text{cuántas hay de ese valor})$ . Para integrar así, necesitás responder: ¿cuánto $x$ toma el valor $y$ ? Es decir, hay que medir el tamaño del conjunto $\{x : f(x) \approx y\}$ . Y medir conjuntos raros es, literalmente, el problema que resuelve la teoría de la medida.

Medida — generalizar la longitud

Una medida $\mu$ asigna un "tamaño" a los conjuntos, generalizando la longitud (en $\mathbb{R}$ ), el área (en $\mathbb{R}^2$ ) y el volumen. Sus reglas mínimas: $\mu(\varnothing) = 0$ , $\mu \ge 0$ , y la aditividad numerable —si los $E_k$ son disjuntos,

\mu\!\left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\right) = \sum_{k=1}^\infty \mu(E_k).

Para intervalos, $\mu([a,b]) = b - a$ , como esperás. Lo nuevo y poderoso son los conjuntos de medida cero. Un conjunto numerable tiene medida $0$ : aunque los racionales sean densos, podés taparlos a todos con intervalos de longitud total tan chica como quieras:

Los racionales tienen medida cero — interactivoℚ ∩ [0,1]

ε = 0.30longitud total ≈ 0.30 < ε

Los racionales son densos (hay uno entre dos reales cualesquiera), pero como son numerables los podés tapar a todos con intervalos cuyas longitudes suman ε·(½ + ¼ + ⅛ + ⋯) < ε. Achicá ε y la cobertura tiende a nada: la medida de ℚ es 0. Por eso la función de Dirichlet (1 en los racionales, 0 en los irracionales) —que Riemann no puede integrar— tiene integral de Lebesgue 0: cambiar una función en un conjunto de medida cero no cambia su integral.

Esa es la grieta por donde Lebesgue gana: si dos funciones difieren solo en un conjunto de medida cero, tienen la misma integral. "En casi todo punto" (salvo medida cero) es el concepto omnipresente del capítulo.

Funciones medibles y simples

Una función es medible si las preimágenes de intervalos son conjuntos medibles —la condición mínima para que "medir $\{x : f(x) \in [y, y+dy]\}$ " tenga sentido. Es una clase enorme: incluye toda continua y mucho más, y es cerrada por límites (a diferencia de las Riemann-integrables).

El ladrillo del integral son las funciones simples: combinaciones finitas de indicadoras,

s(x) = \sum_{i=1}^{n} c_i \,\mathbf{1}_{E_i}(x), \qquad \int s\,d\mu = \sum_{i=1}^{n} c_i\, \mu(E_i).

La indicadora $\mathbf{1}_{E}$ vale $1$ en $E$ y $0$ afuera; su integral es, sencillamente, valor × medida del conjunto. Toda función medible no negativa es el límite creciente de funciones simples, y ahí se define el integral:

\int f\,d\mu = \sup\left\{ \int s\,d\mu : \; s \text{ simple}, \; 0 \le s \le f \right\}.

Para una $f$ con signo, se parte $f = f^+ - f^-$ (parte positiva y negativa) y se integra cada una. $f$ es integrable si $\int |f|\,d\mu < \infty$ .

Lebesgue vs Riemann

Dos hechos cierran la comparación:

Compatibilidad. Toda función Riemann-integrable es Lebesgue-integrable, con el mismo valor. Lebesgue no contradice nada; extiende.
Más poder. Integra funciones que Riemann no puede. La función de Dirichlet ( $1$ en $\mathbb{Q}$ , $0$ en los irracionales) no es Riemann-integrable (sus sumas superior e inferior nunca se encuentran), pero su integral de Lebesgue es $0$ —porque $\mathbb{Q}$ tiene medida cero.

Y lo estructural, lo que de verdad importa: la clase $L^1$ de funciones integrables es completa (teorema de Riesz–Fischer) —toda sucesión de Cauchy converge dentro—, algo que las Riemann-integrables no cumplen. Esa completitud es la que vuelve a $L^1$ y $L^2$ espacios de Banach y de Hilbert, el escenario donde viven Fourier, los mínimos cuadrados y el filtro de Kalman.

Los teoremas de convergencia — el verdadero premio

Acá Lebesgue aplasta a Riemann. En el Cap. 7 necesitabas convergencia uniforme —muy exigente— para meter el límite dentro de la integral. Lebesgue lo logra con condiciones mucho más débiles:

Convergencia monótona (MCT). Si $0 \le f_1 \le f_2 \le \cdots$ crecen a $f$ , entonces $\int f_n\,d\mu \to \int f\,d\mu$ . Sin ninguna otra hipótesis.

Lema de Fatou. $\displaystyle\int \liminf f_n \,d\mu \le \liminf \int f_n\,d\mu$ . Una red de seguridad: el área no puede "aparecer de la nada" en el límite.

Convergencia dominada (DCT). Si $f_n \to f$ puntualmente y existe una $g$ integrable con $\lvert f_n\rvert \le g$ para todo $n$ , entonces $\int f_n\,d\mu \to \int f\,d\mu$ .

La DCT es la que usás todo el tiempo: cambia la uniformidad del Cap. 7 por la dominación —basta con que una sola función integrable $g$ tape a toda la sucesión—. El pico viajero (cada vez más alto y delgado, con $\int = 1$ pero límite puntual $0$ ) falla justamente porque no hay $g$ integrable que lo domine: ninguna función fija acota un pico que crece sin tope. La condición de la DCT detecta exactamente ese problema.

La conexión con la probabilidad

Y acá todo el capítulo se revela. Una medida en la que el espacio total mide $1$ , $\mu(\Omega) = 1$ , es una medida de probabilidad $P$ . Integrar contra ella es, literalmente, tomar esperanza:

E[X] = \int_\Omega X \, dP.

La esperanza no es "promedio ponderado" como caso aparte: es la integral de Lebesgue de la variable aleatoria contra la medida de probabilidad. Y entonces:

La integral de Stieltjes contra la CDF, $\int x\,dF$ , es el caso particular en $\mathbb{R}$ ; la densidad $p = dP/d\mu$ es la derivada de Radon–Nikodym.
Los teoremas de convergencia se vuelven los de probabilidad: $E[\lim X_n] = \lim E[X_n]$ es la MCT/DCT. Cada vez que en una prueba de consistencia escribís "por convergencia dominada", estás invocando este capítulo. Las pruebas asintóticas que "se caen" suelen ser un intercambio sin una $g$ dominante.
La esperanza condicional $E[X \mid \mathcal{G}]$ es una proyección ortogonal en $L^2$ —la misma del Cap. 8 (Fourier) y de los mínimos cuadrados (la desarrollamos abajo).

Los espacios $L^p$ y la geometría de $L^2$

La integral de Lebesgue da, por fin, los espacios donde vive el análisis funcional. Para $p \ge 1$ ,

f \in L^p \iff \int |f|^p\,d\mu < \infty, \qquad \lVert f\rVert_p = \left(\int |f|^p\,d\mu\right)^{1/p}.

Los casos clave en probabilidad: $L^1$ = esperanza finita ( $E|X| < \infty$ ); $L^2$ = varianza finita ( $E[X^2] < \infty$ ); $L^\infty$ = acotadas. Dos desigualdades los gobiernan:

Hölder: $\int |fg| \le \lVert f\rVert_p\,\lVert g\rVert_q$ con $\tfrac1p + \tfrac1q = 1$ —generaliza Cauchy–Schwarz, que es el caso $p = q = 2$ . Minkowski: $\lVert f + g\rVert_p \le \lVert f\rVert_p + \lVert g\rVert_p$ —la desigualdad triangular que hace de $\lVert\cdot\rVert_p$ una norma.

$L^2$ es especial: tiene un producto interno $\langle f, g\rangle = \int fg\,d\mu$ , que en probabilidad es $E[XY]$ . Eso le da geometría —longitud $\lVert X\rVert = \sqrt{E[X^2]}$ , ortogonalidad $X \perp Y \iff E[XY] = 0$ (no correlación), y proyecciones—. Y por Riesz–Fischer, $L^2$ es completo: toda sucesión de Cauchy converge dentro. Es la propiedad del supremo del Cap. 1 vista por última vez —" $\mathbb{R}$ no tiene huecos" se vuelve " $L^2$ no tiene huecos"—, y es lo que garantiza que las proyecciones existan y no apunten a un agujero.

Radon–Nikodym. Si una medida $\nu$ es absolutamente continua respecto de $\mu$ ( $\mu(A) = 0 \Rightarrow \nu(A) = 0$ ), existe una densidad $f = \tfrac{d\nu}{d\mu} \ge 0$ con $\nu(A) = \int_A f\,d\mu$ . Es el teorema que formaliza qué es una densidad $p(x)$ y por qué existe.

La esperanza condicional como proyección

El broche de oro del capítulo. Tenés una variable $X$ y solo cierta información —una sub-σ-álgebra $\mathcal{G}$ —. La mejor estimación de $X$ con lo que sabés es proyectar $X$ sobre el subespacio de lo $\mathcal{G}$ -medible:

$E[X \mid \mathcal{G}]$ es la proyección ortogonal de $X \in L^2$ sobre el subespacio cerrado de las variables $\mathcal{G}$ -medibles —es decir, la $\hat X$ $\mathcal{G}$ -medible que minimiza el error cuadrático $E[(X - \hat X)^2]$ .

Se caracteriza por ortogonalidad: $Y = E[X \mid \mathcal{G}]$ es la única variable $\mathcal{G}$ -medible cuyo residual $X - Y$ es perpendicular a todo el subespacio, $E[(X - Y)Z] = 0$ para toda $Z$ $\mathcal{G}$ -medible. Existe y es única por el teorema de proyección de Hilbert, que necesita —otra vez— la completitud de $L^2$ . De ahí salen sus propiedades: la torre $E[E[X \mid \mathcal{G}]] = E[X]$ , sacar lo conocido ( $E[ZX \mid \mathcal{G}] = Z\,E[X \mid \mathcal{G}]$ si $Z$ es $\mathcal{G}$ -medible), y Jensen condicional. Los mínimos cuadrados y la regresión son esta misma geometría: proyectar sobre el subespacio de los regresores.

Esto es lo que Kolmogorov formalizó: la probabilidad es teoría de la medida. Lebesgue no era un tecnicismo de analistas —era el piso sobre el que se construyó toda la probabilidad rigurosa—. Cerramos el recorrido por Rudin justo donde empieza la inferencia estadística.