Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema pide encontrar valores que satisfagan varias ecuaciones a la vez. En dos variables, cada ecuación es una recta, y resolver el sistema es hallar el punto donde se cruzan. Empezá por la intuición geométrica: mové las rectas y mirá aparecer los tres escenarios posibles.

Un sistema 2×2 son dos rectas — interactivoúnica

① y = 1x + 1

② y = -1x + 3

Solución única: (1.00, 2.00)

m₁ = 1k₁ = 1m₂ = -1k₂ = 3

Cada ecuación es una recta; la solución del sistema es dónde se cruzan. Si tienen distinta pendiente, se cortan en un punto (única). Misma pendiente y distinta altura: paralelas, nunca se tocan (sin solución). Misma recta: se superponen (infinitas). Los métodos algebraicos de abajo encuentran ese cruce sin dibujar.

Todos los métodos algebraicos que siguen buscan ese mismo cruce sin dibujar. Los vamos a aplicar al mismo sistema para que veas que dan lo mismo:

\begin{cases} 2x + y = 5 \\ \;\,x - y = 1 \end{cases}

1. Sustitución

Despejás una variable en una ecuación y la metés en la otra. De la segunda, $x = 1 + y$ . Sustituyendo en la primera:

2(1 + y) + y = 5 \;\Rightarrow\; 2 + 3y = 5 \;\Rightarrow\; y = 1, \quad x = 1 + 1 = 2.

Conviene despejar la variable cuyo coeficiente es $1$ (acá la $x$ de la segunda): evitás fracciones. Es el método más directo cuando alguna variable está "casi despejada".

2. Igualación

Despejás la misma variable en ambas ecuaciones y las igualás. Despejando $y$ :

y = 5 - 2x, \qquad y = x - 1 \;\;\Rightarrow\;\; 5 - 2x = x - 1 \;\Rightarrow\; 6 = 3x \;\Rightarrow\; x = 2,\; y = 1.

Es sustitución mirada de costado: en vez de meter una en la otra, las pegás por la variable común.

3. Reducción (eliminación)

Sumás o restás las ecuaciones —escaladas si hace falta— para que se cancele una variable. Acá la $y$ ya tiene signos opuestos, así que sumamos las dos ecuaciones miembro a miembro y desaparece:

(2x + y) + (x - y) = 5 + 1 \;\Rightarrow\; 3x = 6 \;\Rightarrow\; x = 2,\; y = 1.

Es el método que mejor escala a mano y el que está detrás de la eliminación de Gauss.

4. Método gráfico

Cada ecuación es una recta; la solución es la intersección (el punto verde del interactivo). Su valor no es tanto calcular —es impreciso a ojo— sino entender los tres casos:

Pendientes distintas → se cortan en un punto → solución única.
Misma pendiente, distinta ordenada → paralelas → sin solución (sistema incompatible).
La misma recta → se superponen → infinitas soluciones (compatible indeterminado).

5. Métodos matriciales

Para sistemas más grandes, lo manual no escala. Escribís el sistema como matriz aumentada y operás por filas.

Eliminación de Gauss

\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right] \;\xrightarrow{\,F_1 \leftrightarrow F_2\,}\; \left[\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \end{array}\right] \;\xrightarrow{\,F_2 - 2F_1\,}\; \left[\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{array}\right].

La última fila dice $3y = 3 \Rightarrow y = 1$ , y sustituyendo hacia atrás $x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2$ . Llevar la matriz a forma escalonada y despejar de abajo hacia arriba es el algoritmo que usa cualquier computadora.

Regla de Cramer

Con determinantes. Para $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ con $\det A \neq 0$ , cada variable es un cociente de determinantes donde se reemplaza su columna por $\mathbf{b}$ :

A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad \det A = (2)(-1) - (1)(1) = -3,

x = \frac{\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}}{\det A} = \frac{-6}{-3} = 2, \qquad y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}}{\det A} = \frac{-3}{-3} = 1.

Elegante para sistemas chicos y para fórmulas cerradas, pero caro para sistemas grandes (los determinantes explotan en costo): ahí gana Gauss.

El determinante decide el caso

Todo se unifica en un número. Para un sistema cuadrado $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ :

\det A \neq 0 \;\Rightarrow\; \text{solución única}; \qquad \det A = 0 \;\Rightarrow\; \text{sin solución o infinitas}.

$\det A = 0$ es, geométricamente, que las rectas tienen la misma pendiente: o son paralelas (incompatible) o la misma (indeterminado). El álgebra y la geometría dicen exactamente lo mismo.