← Temas

Espacios vectoriales y transformaciones lineales

Un espacio vectorial es un conjunto donde podés sumar elementos y multiplicarlos por escalares sin salirte de él —$\mathbb{R}^n$ es el ejemplo, pero también lo son polinomios, funciones o señales—. Sobre esa estructura, una matriz no es una tabla de números: es una transformación lineal, y casi toda la materia es aprender a leerla como tal.

Independencia, base y dimensión

Una combinación lineal de $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$ es $c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k$. El conjunto de todas las combinaciones posibles es el span (lo que esos vectores generan).

Los vectores son linealmente independientes si ninguno es combinación de los otros —equivalente, la única forma de obtener $\mathbf{0}$ es la trivial:

Una base es un conjunto que es independiente y genera todo el espacio: lo mínimo para describir cualquier vector, sin redundancia. Todas las bases de un mismo espacio tienen la misma cantidad de elementos —ese número es la dimensión—, y una vez fijada una base, cada vector tiene coordenadas únicas en ella.

La matriz como transformación lineal

Una transformación $T$ es lineal si respeta sumas y escalares, $T(\alpha\mathbf{x} + \beta\mathbf{y}) = \alpha T(\mathbf{x}) + \beta T(\mathbf{y})$. El hecho clave: una transformación lineal queda completamente determinada por lo que les hace a los vectores de la base. Por eso $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$, y las columnas de $A$ son exactamente las imágenes de los vectores base:

Leer una matriz así —"¿adónde mando $\hat e_1$ y $\hat e_2$?"— vuelve transparente todo lo demás: el determinante es cuánto se estira el área (y su signo, si se da vuelta la orientación), y una rotación, un corte o una proyección son solo elecciones distintas de esas columnas.

Rango, núcleo e imagen

Dos subespacios describen qué hace una matriz $A$ de $m \times n$:

• La imagen (o espacio columna) es el span de las columnas: todo lo que $A$ puede producir. Su dimensión es el rango.
• El núcleo (o espacio nulo) es $\{\mathbf{x} : A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}$: las direcciones que $A$ aplasta a cero. Su dimensión es la nulidad.

Y los liga el teorema de la dimensión (rango–nulidad):

Lo que entra ($n$ dimensiones) se reparte entre lo que sobrevive (la imagen) y lo que se destruye (el núcleo). Para una matriz cuadrada, todo lo importante es lo mismo dicho de seis maneras: invertible $\iff$ rango $= n$ $\iff$ núcleo $= \{\mathbf{0}\}$ $\iff$ columnas independientes $\iff$ $\det \neq 0$. En el interactivo, el preset singular muestra justo el caso que falla: el rango cae, una dirección entera va a parar al origen (núcleo no trivial) y el determinante es $0$.

El núcleo gobierna la unicidad

Imagen y núcleo responden, juntos, todo sobre $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$: la imagen decide la existencia ($A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ tiene solución $\iff \mathbf{b} \in \operatorname{Im}(A)$), y el núcleo decide la unicidad:

Si $\mathbf{x}_0$ es una solución, todas son $\{\mathbf{x}_0 + \mathbf{k} : \mathbf{k} \in \ker(A)\}$. Prueba: $A(\mathbf{x}_0 + \mathbf{k}) = \mathbf{b} + \mathbf{0} = \mathbf{b}$; y si $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, entonces $A(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) = \mathbf{0}$, o sea $\mathbf{x} - \mathbf{x}_0 \in \ker(A)$. $\;\blacksquare$

Por tanto solución única $\iff \ker(A) = \{\mathbf{0}\}$. Es exactamente el mecanismo de la multicolinealidad en mínimos cuadrados: si las columnas de $X$ son dependientes, $\ker(X) \neq \{\mathbf{0}\}$, hay infinitos $\boldsymbol\beta$ con idéntico ajuste, $X^\top X$ es singular y el estimador no es único. Regularizar (Ridge, sumar $\lambda I$) vuelve trivial el núcleo y restaura la unicidad. (Un dato fino que usaremos: el número de columnas independientes iguala al de filas independientes —rango fila = rango columna—, así que "el rango" es un solo número.)

Cambio de base

Las coordenadas de un vector dependen de la base elegida —el vector es el mismo, los números cambian—. Si las columnas de $B$ son los vectores de una base, las coordenadas de $\mathbf{v}$ en esa base se obtienen resolviendo $B\,[\mathbf{v}]_B = \mathbf{v}$:

Lo mismo vale para una transformación: su matriz cambia de aspecto según la base, por una relación de semejanza $A' = P^{-1} A P$. Elegir bien la base puede volver trivial una matriz complicada —y esa es, justamente, la idea que persiguen la diagonalización y la descomposición espectral más adelante.

Lo que sigue

Con espacios, bases y el rango/núcleo/imagen ya tenemos el esqueleto. Falta darle geometría —ángulos, longitudes, perpendicularidad—: el producto interno, las proyecciones y los mínimos cuadrados, la próxima lección.