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Derivadas y el Teorema del Valor Medio

La derivada mide velocidad instantánea de cambio. La trampa es que "en un instante" no hay intervalo sobre el cual medir una tasa — así que la definimos como el límite de tasas sobre intervalos que se encogen a cero. Es, otra vez, el límite haciendo el trabajo pesado.

La definición

cuando ese límite existe. El cociente $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ es la pendiente de la secante que une dos puntos de la curva: la tasa de cambio promedio entre $x$ y $x+h$. Al hacer $h \to 0$, la secante gira hasta apoyarse en la curva y se convierte en la tangente; su pendiente es $f'(x)$. Movelo:

Otra forma de verlo: la mejor aproximación lineal. $f'(x)$ es el número $A$ tal que $f(x+h) = f(x) + Ah + r(h)$ con $r(h)/h \to 0$: la recta $f(x) + Ah$ aproxima a $f$ con un error que decae más rápido que lineal. Esta lectura —derivada = mejor aproximación lineal local— es la que generaliza directo al Jacobiano en varias variables.

Diferenciable ⇒ continua

Lo primero que hay que saber: derivar exige más que ser continua.

Si $f$ es diferenciable en $x$, entonces es continua en $x$.

Demostración. $f(x+h) - f(x) = \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot h \to f'(x)\cdot 0 = 0$ cuando $h \to 0$, así que $f(x+h)\to f(x)$. $\;\blacksquare$

El recíproco es falso: $f(x) = \lvert x\rvert$ es continua en $0$ pero no diferenciable ahí. Por la derecha el cociente vale $+1$, por la izquierda $-1$; los límites laterales no coinciden, no hay una sola pendiente. La continuidad prohíbe saltos; la diferenciabilidad prohíbe además picos.

Las reglas

Con la definición se prueban las reglas que vuelven la derivada calculable:

y la regla de la cadena, la más importante:

La cadena es la que hace funcionar la retropropagación: derivar una composición es multiplicar las derivadas eslabón por eslabón.

Fermat: los óptimos tienen tangente horizontal

Acá se conecta con Weierstrass. Sabíamos que una función continua sobre un compacto alcanza su máximo; ahora podemos localizarlo.

Teorema de Fermat. Si $f$ tiene un extremo local en un punto interior $c$ y es diferenciable ahí, entonces $f'(c) = 0$.

Idea. En un máximo interior, el cociente incremental es $\le 0$ acercándose por la derecha y $\ge 0$ por la izquierda; el único límite compatible con ambos es $0$. Por eso los candidatos a óptimo en $[a,b]$ son solo dos: los extremos del intervalo y los puntos críticos donde $f' = 0$.

El Teorema del Valor Medio

La pieza central del capítulo. Primero su caso particular:

Teorema de Rolle. Si $f$ es continua en $[a,b]$, diferenciable en $(a,b)$ y $f(a) = f(b)$, entonces existe $c \in (a,b)$ con $f'(c) = 0$.

Idea. Por Weierstrass $f$ alcanza máximo y mínimo en $[a,b]$. Si ambos están en los extremos, $f$ es constante y $f' = 0$ en todos lados. Si no, hay un extremo interior, y por Fermat $f'(c) = 0$ ahí. Inclinando Rolle se obtiene el caso general:

Teorema del Valor Medio. Si $f$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$, existe $c \in (a,b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

La velocidad instantánea iguala, en algún punto, a la velocidad promedio: hay un $c$ donde la tangente es paralela a la secante. (Se prueba aplicando Rolle a $g(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$.) Movés $b$ y el $c$ aparece siempre:

Lo que el TVM desbloquea

El Valor Medio es el puente entre la derivada (información local, en un punto) y el comportamiento global de la función:

• $f' = 0$ en todo un intervalo $\Rightarrow$ $f$ es constante ahí. (Si $f(x)\neq f(y)$, el TVM daría un $c$ con $f'(c)\neq 0$.)
• $f' > 0$ en un intervalo $\Rightarrow$ $f$ es estrictamente creciente; $f' < 0 \Rightarrow$ decreciente. El signo de la derivada dicta la monotonía, y por lo tanto clasifica los puntos críticos en máximos, mínimos o ninguno.

La cota de error escondida

El TVM es la herramienta detrás de casi toda cota de error. Como $f(b) - f(a) = f'(c)\,(b-a)$,

Es la desigualdad de Lipschitz, y es la que prueba que una iteración con $\lvert f'\rvert \le L < 1$ es contractiva —cada paso achica la distancia por un factor $L$—, de donde sale la convergencia de los esquemas de punto fijo y de Newton.

Taylor: aproximación de orden superior

La derivada da la mejor recta; las derivadas de orden superior dan la mejor parábola, cúbica, etc. El teorema de Taylor cuantifica el error:

Si $f$ tiene $n$ derivadas y $P_{n-1}(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(\alpha)}{k!}(x-\alpha)^k$ es su polinomio de Taylor, existe $\xi$ entre $\alpha$ y $x$ con $f(x) = P_{n-1}(x) + \underbrace{\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\,(x-\alpha)^n}_{\text{resto}}.$

Es la generalización del valor medio (el caso $n = 1$ es exactamente Lagrange) y se prueba aplicando Rolle $n$ veces a una función auxiliar. El resto dice cuándo la aproximación es buena: si la curvatura ($f''$, $f'''$, …) es grande, el polinomio se degrada rápido al alejarse de $\alpha$. (La versión infinita —cuándo el resto $\to 0$ y la serie reproduce a $f$— es la serie de Taylor.)

L'Hôpital: indeterminaciones vía derivadas

Regla de L'Hôpital. Si $f, g \to 0$ (o ambos $\to \pm\infty$) cuando $x \to a$, con $g' \neq 0$, y $\frac{f'}{g'} \to L$, entonces $\frac{f}{g} \to L$.

Convierte una indeterminación $\tfrac00$ o $\tfrac\infty\infty$ en un cociente de derivadas, a menudo más fácil. La prueba usa el valor medio de Cauchy —la versión para dos funciones, $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$—. Dos trampas clásicas: tiene que haber una genuina indeterminación (aplicarla a algo ya determinado da respuestas falsas), y el límite $\frac{f'}{g'}$ debe existir (si oscila, la regla no concluye, aunque $\frac{f}{g}$ sí tenga límite).

Cierre

Esto cierra el arco que abrió Weierstrass: la compacidad garantiza que el óptimo existe; Fermat dice dónde buscarlo ($f'=0$ o el borde); el signo de $f'$ dice cuál es. Y el valor medio convierte esa información local en cotas globales: es la base analítica de la optimización y la razón de que el descenso por gradiente —moverse en contra de $f'$— tenga sentido, porque la derivada apunta hacia donde la función crece.