Integración por sustitución y por partes

El Teorema Fundamental dijo que integrar es encontrar una antiderivada. El problema es que no hay un algoritmo universal para hallarla. Lo que sí hay son dos técnicas que resuelven la enorme mayoría de los casos, y las dos son reglas de derivación leídas al revés: sustitución deshace la regla de la cadena; partes deshace la del producto.

Sustitución (cambio de variable)

Si en el integrando ves una función compuesta y la derivada de su parte interna, estás viendo la regla de la cadena al revés. Sustituí $u = g(x)$ , con $du = g'(x)\,dx$ :

\int f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du .

La integral fea en $x$ se vuelve una fácil en $u$ . Geométricamente, el factor $g'(x)$ es exactamente el que ajusta el estiramiento del cambio de variable para que el área se conserve —las dos áreas son iguales:

Sustitución u = x² — interactivomisma área, otra variable

límite superior b = 1.40las dos áreas valen lo mismo

Sustituir u = x² (con du = 2x dx) reescribe la integral fea de arriba como la integral fácil de abajo. Las dos áreas son 0.8591 = 1 − e^(−b²): el factor g′(x) = 2x es justo el que ajusta el estiramiento del cambio de variable para que el área se conserve. Sustituir es la regla de la cadena al revés.

Ejemplos.

\int 2x\cos(x^2)\,dx \;\overset{u=x^2}{=}\; \int \cos u\,du = \sin(x^2) + C.

\int x\,e^{x^2}\,dx \;\overset{u=x^2}{=}\; \tfrac12\int e^u\,du = \tfrac12 e^{x^2} + C.

\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx \;\overset{u=\cos x}{=}\; -\int \frac{du}{u} = -\ln\lvert\cos x\rvert + C.

En una integral definida, cambiá también los límites: para $\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx$ , cuando $x$ va de $0$ a $1$ , $u = x^2$ va de $0$ a $1$ , así que $= \int_0^1 \cos u\,du = \sin 1$ . El truco es siempre el mismo: reconocer el bloque interno $g$ y su derivada.

Integración por partes

¿Y cuando no hay un "interno con su derivada", sino un producto de cosas distintas —como $x\,e^x$ o $x\sin x$ —? Ahí entra la regla del producto al revés. De $(uv)' = u'v + uv'$ , integrando, sale:

\int u\,dv = uv - \int v\,du .

La idea es canjear la integral que no sabés hacer ( $\int u\,dv$ ) por otra que sí ( $\int v\,du$ ). Tiene una prueba geométrica preciosa: el área bajo la curva más el área a su izquierda llenan el rectángulo $uv$ :

Integración por partes, geométrica — interactivo∫u dv + ∫v du = [uv]

1.59

∫ v du

1.44

∫ u dv

suma = 3.02 = [uv] = 3.02

extremo = 1.70

El área bajo la curva (∫v du) más el área a su izquierda (∫u dv) llenan exactamente el rectángulo uv (menos el rinconcito inicial). De ahí, despejando: ∫ u dv = uv − ∫ v du. Es la regla del producto al revés, y sirve para integrar lo que la sustitución no agarra: x·eˣ, x·sin x, ln x, arctan x.

¿Cómo elegir $u$ ? La regla mnemotécnica LIATE ordena los candidatos a $u$ : Logaritmo, Inversas trig, Algebraico ( $x^n$ ), Trig, Exponencial. Elegís como $u$ el que aparece primero (el que se simplifica al derivar), y el resto es $dv$ .

Ejemplos.

\int x\,e^x\,dx \;\overset{u=x,\;dv=e^x dx}{=}\; x e^x - \int e^x\,dx = (x-1)e^x + C.

\int \ln x\,dx \;\overset{u=\ln x,\;dv=dx}{=}\; x\ln x - \int x\cdot\tfrac1x\,dx = x\ln x - x + C.

\int x\sin x\,dx \;\overset{u=x,\;dv=\sin x\,dx}{=}\; -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x + C.

Fijate el patrón: en cada caso, derivar $u$ lo vuelve más simple ( $x \to 1$ , $\ln x \to 1/x$ ) hasta que la integral restante es trivial.

Cuál usar

Una regla práctica: si ves una composición con la derivada interna presente, probá sustitución. Si ves un producto de funciones de distinto tipo ( $x\cdot e^x$ , $x\cdot\sin x$ , $\ln x \cdot 1$ ), probá partes. Las dos juntas —más un puñado de identidades algebraicas y trigonométricas— resuelven casi todas las integrales elementales que vas a encontrar. Y cuando ninguna cierra en forma analítica, volvés a las sumas de Riemann refinadas: la cuadratura numérica.