Series de Taylor

La idea es ambiciosa y simple a la vez: aproximar una función complicada cerca de un punto por un polinomio —el objeto más manejable que hay—. La derivada ya daba la mejor recta (aproximación de primer orden); Taylor sube el grado para pegarse cada vez mejor.

El polinomio de Taylor

El polinomio de Taylor de grado $n$ en $a$ se construye para que coincida con $f$ y con sus $n$ primeras derivadas en $a$ :

T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x - a)^k = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots

Cada coeficiente está hecho para que $T_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ : comparten valor, pendiente, curvatura, etcétera. Por eso $T_n$ abraza la curva cerca de $a$ y se despega lejos. Movés el centro $a$ y el grado $n$ :

Polinomio de Taylor en x = a — interactivo

centro a = 0.00grado n = 3

El polinomio de Taylor de grado n en a coincide con f y con sus n primeras derivadas ahí: por eso se pega a la curva cerca de a y se separa lejos. Subí n y el tramo de buen ajuste crece. Como el factorial domina, el radio es ∞: agregando términos aproximás en toda la recta.

Si centrás en $a = 0$ se llama serie de Maclaurin —el caso que viste en las funciones especiales—; en general podés desarrollar alrededor de cualquier punto.

El teorema de Taylor — controlar el error

Aproximar sin saber cuánto te equivocás no sirve. El teorema de Taylor te da el error exacto. Para $f$ con $n+1$ derivadas,

f(x) = T_n(x) + R_n(x), \qquad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x - a)^{n+1},

para algún $\xi$ entre $a$ y $x$ (forma de Lagrange del residuo). Es el TVM con esteroides: la $(n+1)$ -ésima derivada en un punto intermedio mide cuánto te falta. Dos cosas saltan a la vista: el error crece con la distancia $(x-a)^{n+1}$ y se apaga con el factorial $(n+1)!$ . Esa pelea decide todo.

¿Cuándo la serie es la función?

Si $R_n(x) \to 0$ cuando $n \to \infty$ , el polinomio converge a $f$ y la serie de Taylor reproduce la función:

f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x - a)^k .

Para $e^x$ , $\sin x$ y $\cos x$ el factorial del denominador aplasta a cualquier $(x-a)^{n+1}$ , así que $R_n \to 0$ en toda la recta: radio $R = \infty$ . Para otras —como $\frac{1}{1-x}$ — hay una singularidad que pone un techo: el radio es la distancia del centro $a$ al punto problemático ( $R = \lvert 1 - a\rvert$ ), y pasado eso la serie diverge por más términos que sumes. El radio no es un detalle: es el dominio donde la aproximación tiene sentido.

El recetario

función	serie en $0$	radio
$e^x$	$\sum \dfrac{x^n}{n!}$	$\infty$
$\sin x$	$\sum \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$\infty$
$\cos x$	$\sum \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$	$\infty$
$\dfrac{1}{1-x}$	$\sum x^n$	$1$
$\ln(1+x)$	$\sum \dfrac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$	$1$

Por qué te importa

El primer corte de Taylor —el de grado 1, $f(a) + f'(a)(x-a)$ — es la linealización, el motor del método de Newton, del filtro de Kalman extendido y de la propagación de errores. El término de grado 2 (con la segunda derivada, o el hessiano en varias variables) es la curvatura que usa el método de Newton para optimizar. Y el residuo de Lagrange es de donde salen las cotas de error rigurosas: cuando truncás una serie en cómputo numérico, el siguiente término te dice cuánto podés estar equivocándote. Taylor convierte "aproximemos" en "aproximemos con esta garantía".